適當的先驗和指數似然會導致不適當的後驗嗎？

（這個問題的靈感來自西安的這篇評論。）

眾所周知，如果先驗分佈 π(θ) 是適當的和可能性 L(θ|x) 是明確定義的，那麼後驗分佈 π(θ|x)∝π(θ)L(θ|x) 幾乎可以肯定是正確的。

在某些情況下，我們使用緩和或指數似然來代替，導致偽後驗

˜π(θ|x)∝π(θ)L(θ|x)α

對於一些 α>0 （例如，這可能具有計算優勢）。

在這種情況下，是否有可能有一個正確的先驗但不正確的偽後驗？

為了 α≤1 ，也許這是一個論證，表明不可能構造這樣的後驗？

我們想知道是否有可能 ∫˜π(θ|x)dθ=∞ .

在 RHS 上：

∫π(θ)Lα(θ|x)dθ=Eθ(Lα(θ|x))

如果 α≤1 , xα 是一個凹函數，所以由 Jensen 不等式：

Eθ(Lα(θ|x))≤Eαθ(L(θ|x))=m(x)α<∞

… 在哪裡 m(x) 正如西安所指出的，是歸一化常數（證據）。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/370919