智力平方得分和獲勝者確定
有一個名為 Intelligence Squared 的 NPR 播客。每一集都是關於一些有爭議的陳述的現場辯論廣播，例如“第二修正案不再相關”或“大學校園的平權行動弊大於利”。四位代表辯論——兩位贊成，兩位反對。
為了確定哪一方獲勝，在辯論前後都要對觀眾進行民意調查。在絕對百分比方面獲得更多收益的一方被視為獲勝者。例如：
For Against Undecided Before 18% 42% 40% After 23% 49% 28% Winner: Against team -- The motion is rejected.直覺上，我認為這種衡量成功的標準是有偏見的，我想知道如何通過投票來公平地確定獲勝者。
我立即看到當前方法的三個問題：
- 在極端情況下，如果一方以 100% 的同意開始，他們只能平局或輸球。
- 如果沒有未定的，那麼初始協議較少的一方可以被視為具有更大的樣本量以從中抽取。
- 未定的一方不太可能是真正未定的。如果我們假設這兩個方面同樣兩極分化，似乎我們對未定人口的先前信念應該是如果每個人都被迫站在一邊。
鑑於我們必須依靠觀眾投票，有沒有更公平的方式來判斷誰贏了？
你的擔憂是有根據的。不幸的是，有許多合理的、客觀的方法可以解決這個問題*，而且它們可能會相互衝突。* 以下分析提供了一個框架，用於決定您可能希望如何評估結果，並顯示您的結論在多大程度上依賴於您對情況動態所做的假設。
我們對最初的觀眾幾乎沒有控制權。它可能並不代表我們更感興趣的更大人群（例如所有觀眾）。因此，意見的絕對數量無關緊要：重要的是人們改變主意的速度。（根據這些比率，我們可以估計收聽人群可能會如何變化，給出有關他們最初意見的信息，即使收聽聽眾中的意見比例與接受調查的演播室聽眾不同。）
因此，結果包括六種可能的意見變化和六種相關的變化率：
- 我將索引的那些“為”可以改變主意並最終反對（與索引) 以速率 或未定（帶索引) 以速率.
- 那些“反對”的人可以改變主意以“贊成”的速度或“未定”的速率.
- 猶豫不決的人可以改變主意以“支持”的速度或“反對”率
定義， 為了是指數的人的比例不改變他們的想法。
矩陣的列包含必須增加統一的非負數（假設響應初始民意調查的每個人也響應最終民意調查）。剩下六個獨立的值需要根據觀眾中初始分佈的過渡來確定，, 到最終分佈. 這是（受約束的）線性方程組的欠定係統，在推導解決方案時具有極大的靈活性。讓我們看看三個解決方案。
解決方案 1：最小變化
我們可能會問轉移矩陣在某種意義上盡可能地小。一種方法是最小化改變觀點的人的總*比例。*這是在示例中使用解決方案完成的
那是，未決者的最終結果是，他們中的一個人最終反對，而最初的支持或反對都沒有改變主意。誰贏了？顯然，反對者是因為辯論說服了更大比例的未決者接受“反對”意見。
當您認為最初的派係對他們的意見很頑固並且唯一可能改變主意的人是最初宣佈為未決定的人時，這種模型將是合適的。
解決方案 2：最小二乘
一個數學上簡單的解決方案是找到矩陣誰的平方規範盡可能小：這將所有九個轉移概率的平方和最小化（包括代表不改變主意的比例）。它的解決方案（四捨五入到小數點後兩位）是
比較行，我們看到雖然的“反對”一方被說服轉換為“支持”（和另一個被充分混淆以成為未定的），完全“for”側的轉換（和另一個感到困惑）。最初的未決者傾向於轉換為“反對”一方（ 相對 ）。現在“反對”是明顯的贏家。
最小二乘解通常會在每個組中假設很多變化。（受問題的約束，它試圖使更改全部等於.) 它是否對應於對人口的真實寫照很難確定，但它確實展示了辯論期間發生的事情的數學可能圖景。
解決方案 3：懲罰最小二乘
為了控制和限制人們改變意見的速度，讓我們通過包含不支持意見改變的術語來懲罰最小二乘目標。這些是對角線上的項. 我們可能會假設很難改變一個沒有決定的人的意見，所以最好降低後者的權重。為此引入正權重並找到為此
被最小化。 例如，讓我們通過選擇權重將未決定者的權重降低 50%. （四捨五入的）解決方案是
該解決方案介於前兩者之間：一小部分承諾方改變了主意或猶豫不決，而的未決定者做出了決定（對於和反對）。然而，再一次，結果顯然有利於“反對”派系。
概括
在這種意見變化的過渡模型中，大多數解決方法都表明在這個特定示例中“反對”一方獲勝。沒有任何關於變化動態的強烈意見，這表明“反對”一方獲勝。
在其他情況下，某些解決方法可能會指示一個獲勝者，而其他解決方法可能會指示另一個獲勝者。例如，在從到天真地看起來“fors”取得了驚人的勝利：他們的人數從到而“反對”派則從到. 然而，（四捨五入的）最小二乘解決方案至少表明有一種可能發生這種情況的方式，其中辯論略微偏向另一方！它是
這裡，的“fors”改變到另一邊，而只有的“反對”改為相反的意見。此外，未決者略多 對比 ) 出來“反對”而不是支持。儘管他們在觀眾中的人數減少了，但我們有一種情況（讓人想起辛普森悖論），其中“反對”派顯然贏得了辯論！
附加評論
如果民意調查可以在之前和之後跟踪個人，我們可以估計整個轉移矩陣辯論對公眾輿論的影響的不確定性也會小得多。
這裡說明的三種解決方法並不是唯一可能的方法：其他方法可以通過加權係數找到例如，單獨的。不過，它們確實涵蓋了廣泛的可能性，從簡約的“最小變化”解決方案到積極的最小二乘解決方案。因此，探索使用這三種方法獲得的解決方案的範圍應該可以很好地表明可以合理實現的目標。如果他們都同意結果，那應該是毫無疑問的。