最大似然不是重新參數化不變的。那麼如何證明使用它是合理的呢？
關於最大似然估計器，有些事情讓我感到困惑。假設我有一些數據和參數下的可能性是
這可以識別為高斯向上縮放的可能性。現在我的最大似然估計器會給我.
現在假設我不知道，而是使用參數這樣. 還假設所有這些都是數字，所以我不會立即看到以下可能性看起來有多愚蠢
現在我將解決最大可能性並獲得其他解決方案。為了幫助看到這一點，我將其繪製在下面。
所以從這個角度來看，最大似然似乎是一件愚蠢的事情，因為它不是重新參數化不變的。我錯過了什麼？
請注意，貝葉斯分析自然會解決這個問題，因為可能性總是伴隨著一個度量
回復和評論後添加的部分（添加於 2018 年 3 月 16 日）
後來我意識到我上面的例子不是一個好例子，因為兩個最大值相當於. 所以他們正在確定同一點。我保留了上面的內容，以便下面的討論和回復有意義。但是，我認為以下是我試圖解決的問題的一個更好的例子。
拿
現在假設我重新參數化然後做一個關於的最大似然我明白了
如果我想要一個最大值在一個位置，而不是我從最大化中得到的位置我需要
和
因此，我可以舉一個簡單的例子
我在下面繪製結果。我們可以清楚地看到是全局最大值（並且在最大化時只有一個) 但我們還有另一個局部最大值當我們最大化關於.
注意地圖不是雙射的，但我不明白為什麼必須這樣。此外，至少在這個例子中，全局最大值將始終是但從常客的角度來看，我不會不得不採取某種加權平均值的 1/1.6和 .6/1.6 的（對應於) 如果我完全在空間？
查看您的圖表，似乎是對 MLE(s) 的一個相當合理的猜測. 通過運行這些值返回的功能結果是或者，正如它應該的那樣。因此，MLE 之間沒有分歧和 MLE(s).
發生的事情是您創建了一張地圖那不是1-1。在這種情況下，真正的價值映射到多個值，所以毫不奇怪，在使用時您將有多個最大值. 但是請注意，如果您進行貝葉斯分析，這將是相同的，除非您之前的限制到區間或一些這樣的。如果你這樣做了，為了可比性，你應該限制 MLE 的範圍到相同的範圍，在這種情況下，您將不再獲得似然函數的多個最大值。
ETA：回想起來，我過分關注示例解釋，而對基本原理的關注不夠。在這方面，對於 OP 的回應，幾乎沒有比@whuber 的評論更好的了。
一般來說，如果你有一個參數和相關的 MLE，然後你構造一個函數，您已經有效地創建了一個備用參數. MLE, 標記它, 將是那些值這樣， IE，.