固定效應的頻率論定義是什麼？
Bolker (2015) 在 p. 上寫道。313 那
頻率論者和貝葉斯論者對隨機效應的定義略有不同，這會影響他們使用它們的方式。頻率論者將隨機效應定義為分類變量，其水平是從更大的總體中隨機選擇的，例如，從特有物種列表中隨機選擇的物種。貝葉斯將隨機效應定義為一組變量，其參數[全部]來自[相同]分佈。頻率論者的定義在哲學上是連貫的，你會遇到堅持它的研究人員（包括審稿人和主管），但實際上可能存在問題。例如，這意味著當您觀察到現場的所有物種時，您不能將物種用作隨機效應——因為物種列表不是來自更大種群的樣本——或者使用年份作為隨機效應，因為研究人員很少在隨機抽樣的年份進行實驗——他們通常使用一系列連續的年份，或者他們可以進入該領域的隨機年份。
Bolker 在第 315 頁繼續指出
貝葉斯框架對隨機效應有更簡單的定義。在貝葉斯方法下，固定效應是我們獨立估計每個參數（例如，一個屬內每個物種的平均值）（具有獨立指定的先驗），而對於隨機效應，每個級別的參數被建模為繪製來自分佈（通常是正態）；在標準統計符號中， $ \textrm{species_mean} \sim {\cal N}(\textrm{genus_mean}, \sigma^2_{\textrm{species}}) $ .
因此，Bolker 的章節為隨機效應提供了清晰的貝葉斯和頻率論定義，以及對固定效應的清晰貝葉斯定義。但是，我沒有看到它提供了固定效果的任何常客定義。
我從這個答案中知道，文獻中存在各種不一致的固定效應定義。為了澄清，我正在尋找一個能夠“完成”博克現有定義的定義，並且與他正在採取的方法明顯一致。
儘管在這個問題中詳細考慮了相關主題，但我認為這個問題不同而且更具體。我也不認為答案存在於對另一個問題的任何答復中。
Bolker, BM, 2015。線性和廣義線性混合模型。在 GA Fox、S. Negrete-Yankelevich 和 VJ Sosa（編輯），生態統計：當代理論和應用。牛津大學出版社。國際標準書號 978-0-19-967255-4。在新聞。
首先，“隨機效應”可以用不同的方式來看待，處理它們的方法和相關定義可能看起來相互矛盾，但這只是一個不同的觀點。
模型中的“隨機效應”項既可以視為模型確定性部分中的項，也可以視為模型隨機部分中的項。
基本上，一般來說，固定效應和隨機效應之間的區別在於參數是否在實驗中被認為是固定的。從那時起，您會得到各種不同的實際應用，以及對“何時使用隨機效應？”這個問題的許多不同答案（意見）。它實際上可能更像是一個語言問題（無論是否稱為隨機效應），而不是建模問題（我們都以同樣的方式理解數學）。
貝葉斯和頻率論框架以相同的方式看待統計模型，例如：觀察 $ Y_{ij} $ 在哪裡 $ j $ 是觀察數和 $ i $ 表示分組
$$ Y_{ij} = \underbrace{ \alpha + \beta}{\substack{\llap{\text{mod}}\rlap{\text{el}} \ \llap{\text{parame}}\rlap{\text{ters}} }}\overbrace{X{ij}}^{\substack{\llap{\text{indep}}\rlap{\text{endent}} \ \text{variables}}} +\overbrace{Z_{i}}^{\substack{\llap{\text{ran}}\rlap{\text{dom}} \ \text{group}\ \text{term}}} + \overbrace{\epsilon_{j}}^{\substack{\llap{\text{ran}}\rlap{\text{dom}} \ \text{individual}\ \text{term}}} $$
觀察結果 $ Y_{ij} $ 將取決於一些模型參數 $ \alpha $ 和 $ \beta $ ，這可以看作是描述如何 $ Y_{ij} $ 取決於變量 $ X_{ij} $ .
但是觀察結果不是確定性的，僅取決於 $ X_{ij} $ , 也會有隨機項使得觀察以自變量為條件 $ Y_{ij} \vert X_{ij} $ 將遵循一些隨機分佈。條款 $ Z_{i} $ 和 $ \epsilon_j $ 是模型的不確定部分。
這與貝葉斯和頻率論方法相同，原則上它們在描述觀察概率的方式上沒有區別 $ Y_{ij} $ 以模型參數為條件 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 和自變量 $ X_{ij} $ ， 在哪裡 $ Z_i $ 和 $ \epsilon_j $ 描述一個不確定的部分。
不同之處在於“推理”的方法。
- 貝葉斯方法使用反向概率並描述（固定效應）參數的概率分佈 $ \alpha $ 和 $ \beta $ . 這意味著將這些參數解釋為隨機變量。使用貝葉斯方法，結果是關於固定效應參數的概率分佈的陳述 $ \alpha $ 和 $ \beta $ .
- 頻率方法不考慮固定效應參數的分佈 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 並避免做出暗示這種分佈的陳述（但沒有明確拒絕）。頻率論方法中的概率/頻率陳述與關於參數的頻率/概率陳述無關，而是與關於估計過程的成功率的頻率/概率陳述相關。
因此，如果您願意，您可以說固定效應的常客定義是：“描述統計模型中確定性部分的模型參數”。（即描述因變量如何依賴於自變量的參數）。
更具體地說，在大多數情況下，這僅與描述的確定性模型的參數有關 $ E[Y_{ij} \vert X_{ij}] $ . 例如，使用頻率模型可以估計均值和方差，但只有與均值相關的參數才被認為是“影響”。更具體地說，效果最常用於“線性”模型的上下文中。例如，用於非線性模型，例如 $ E[y] \sim a e^{-bt} $ 參數 $ a $ 和 $ b $ 並不真正稱為“效果”。
在貝葉斯框架中，所有效應都是隨機的，而不是確定性的（因此隨機效應和固定效應之間的差異並不那麼明顯）。模型參數 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 是隨機變量。
我如何解釋問題對貝葉斯框架中隨機效應和固定效應差異的描述/定義更像是務實的東西，而不是一些原則。
- 固定效應 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 被認為就像*“我們獨立估計每個參數*的地方”（ $ \alpha $ 和 $ \beta $ 是從分佈中隨機抽取的，但它們對所有人都是相同的 $ i $ 和 $ j $ 在分析中，例如一個物種的平均值是一個模型參數，每個物種都被認為是相同的）
- 並且隨機效應就像*“對於隨機效應，每個級別的參數都被建模為從分佈中提取”*（對於每個觀察類別 $ i $ 從分佈中“得出”不同的隨機效應，例如，一個物種的平均值是一個模型參數，每個物種都被認為是不同的）
在頻率論框架中，固定效應模型參數不被視為隨機參數，或者至少對於參數是否為隨機參數的推斷無關緊要，並且將其排除在分析之外。然而，隨機效應項被明確地視為隨機變量（即，作為模型的非確定性組件），這將影響分析（例如，在混合效應模型中，隨機誤差項的強加結構）。