難以使用迭代對數定律
假設您有無限多個 iid Bernouilli 變量 X1,X2,⋯ 參數的 p=12 . 例如，隨機數的二進制數字。讓 Sn=X1+⋯Xn .
迭代對數定律（見這裡）指出 limn→∞supSn−np√2np(1−p)loglogn=1.
無論我做什麼，我都無法通過模擬來複製這種行為。維基百科顯示了一張圖表，解釋了為什麼 loglogn 公式中需要（見這裡）但不確定它基於什麼數據：它一直到 n=∞ ，如果它包含無限數量的觀測值，它就不可能是真實數據。在我所有的測試中， loglogn 使 limsup 趨向於 0，而不是 1。
現在讓 Zn=√n⋅(Snn−p)=Sn−np√n.
這裡 p=12 . 當然 Zn 是漸近正態的 N(0,pq) . 所以技術上 Zn 可能是任意高，極高，而且這種情況經常發生，這表明 limsupZn=∞ . 這符合迭代對數定律。然而基於模擬 n=1010 和一個非常好的隨機發生器，所有證據都表明 limsupZn 以一個相當小的常數為界，小於 1。這似乎與迭代對數定律相矛盾。
下面是圖表 Zn 基於 100 億次觀測。
它是使用以下隨機生成器生成的： Yk+1=3Yk−⌊3Yk⌋ 和 Y1=√2 和 Xk=⌊2Yk⌋∈0,1 . 這個隨機生成器是非週期性的，並具有其他不錯的功能。在這種情況下 p=12 .
我的問題
我在這裡想念什麼？為什麼我的結果（以上是許多測試之一）似乎與迭代對數定律相矛盾？是不是連續的事實 Zn 高度相關？但這也是迭代算法定律中的假設，對吧？或者沒有正確理解迭代算法的規律或概念 limsup ?
關於上述隨機發生器的注意事項
序列 Yn 由於誤差（由機器精度引起）從一次迭代到下一次迭代呈指數快速傳播，因此在大約 45 次迭代後完全錯誤。但這不是問題，這就像每 40 次左右迭代就開始一個新種子一樣。這不是問題，因為順序 Yn 是遍歷的。
理想情況下我想使用 Yk+1=2Yk−⌊2Yk⌋ 但是在我使用的編程語言（Perl）中，由於計算機完成計算的方式，迭代在 45 次迭代後錯誤地達到零。的計算 2Yk 可以在基數 2 中非常有效地進行，它只是移動二進制數字。
如果替換，生成器實際版本中的計算速度會顯著提高（一個數量級） 3Yk 經過 Yk+Yk+Yk 在源代碼中。
您正在查看一個真正微小的模擬。 這是一個出去 n=21000≈1.07×10301:
（為了繪製它，我將步行縮小到 999 值水平間隔相等，並用線段連接它們。當然，實際模擬比此處顯示的要詳細得多:-)。）
顯然，這種步行反复擊中（並略微超過） ±1 閾值。迭代對數定律說，這種行為將無限期地持續*下去，*超過這個閾值的偏移越來越少。
範圍從 n=108 到 n=1010, 這基本上是在你的情節中可見的，以淺藍色線條左右為界。在整體情況下，我們很難期望縮放的隨機遊走在如此狹窄的區間內變化很大。
關鍵是該定律要求您在索引的對數（甚至對數）軸上繪製縮放的標準化隨機遊走 n.
