直觀地理解為什麼泊松分佈是二項分佈的極限情況

在 DS Sivia 的“數據分析”中，從二項分佈推導出泊松分佈。

他們認為泊松分佈是二項分佈的極限情況，當， 在哪裡是試驗次數。

問題 1：如何直觀地理解該論點？

問題2：為什麼大-限制等於， 在哪裡是成功的次數試驗？（此步驟用於推導。）

我將嘗試一個簡單直觀的解釋。記錄二項式隨機變量我們的期望是和方差是. 現在想想記錄了非常多的事件數量試驗，每個試驗的概率都非常小, 這樣我們就非常接近（真的）。然後我們有說，和, 所以均值和方差都等於. 然後請記住，對於泊松分佈的隨機變量，我們總是使均值和方差相等！這至少是泊松近似的合理性論證，但不是證明。

那就換個角度看吧，泊松點過程https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_point_process 上的真線。如果隨機點按照規則出現，這是我們得到的線上隨機點的分佈：

1. 不相交區間中的點是獨立的
2. 在很短的區間內隨機點的概率與區間的長度成正比
3. 在很短的時間間隔內出現兩個或多個點的概率基本上為零。

那麼給定區間（不一定短）的點數分佈是泊松（帶參數與長度成正比）。現在，如果我們將這個區間劃分為非常多、同樣非常短的子區間（)，給定子區間中兩個或多個點的概率基本上為零，因此該數字將具有非常好的近似值，即伯諾利分佈，即，所以所有這些的總和將是，因此很好地近似了該（長）區間中點數的泊松分佈。

來自@Ytsen de Boer (OP) 的編輯：@Łukasz Grad 滿意地回答了第 2 個問題。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/261119