在什麼級別是𝜒2χ2chi^2測試數學上與a相同𝑧zz- 比例測試？
**背景：**安全跳過 - 它在這裡供參考，並使問題合法化。
這篇論文的開頭寫道：
“Karl Pearson 著名的卡方列聯檢驗源自另一個統計量，稱為 z 統計量，基於正態分佈。最簡單的版本可以證明在數學上與等效 z 檢驗相同。測試在所有情況下都會產生相同的結果。出於所有意圖和目的，“卡方”可以稱為“z 方”。的臨界值對於一個自由度，是 z 的相應臨界值的平方。”
這已在 CV 中多次斷言（here、here、here和其他）。
事實上，我們可以證明相當於和：
讓我們這麼說然後並找到密度通過使用方法：
. 問題是我們不能以緊密的形式整合正態分佈的密度。但我們可以表達：
取導數：
由於正常值是對稱的：
. 將此等同於正常的（現在在裡面將會插入正常的一部分); 並記住包含在最後：
與卡方的 pdf 進行比較：
自從， 為了df，我們準確地推導出了的卡方。
此外，如果我們調用
prop.test()R 中的函數，我們調用的是相同的測試好像我們決定chisq.test()。問題：
所以我得到了所有這些要點，但我仍然不知道它們如何應用於這兩個測試的實際實現，原因有兩個：
- z 檢驗不是平方的。
- 實際測試統計完全不同：
a 的檢驗統計量值是：
在哪裡
= Pearson 的累積檢驗統計量，漸近接近分配。= 類型的觀察次數;= 觀察總數；==類型的預期（理論）頻率, 由零假設斷言類型的分數在人口中是 ; = 表格中的單元格數。
另一方面，檢驗統計量為-測試是：
和， 在哪裡和是“成功”的數量，超過分類變量每個級別中的受試者數量，即和.
這個公式似乎依賴於二項分佈。
這兩個測試統計量明顯不同，導致實際測試統計量以及p值的結果不同：
5.8481對於2.4183對於 z 檢驗，其中（謝謝你，@mark999）。的p值測試是0.01559，而 z 測試是0.0077。雙尾與單尾解釋的差異：（謝謝@amoeba）。那麼我們在什麼層面上說它們是一回事呢？
讓我們有一個 2x2 頻率表，其中列是兩組受訪者，行是兩個回答“是”和“否”。我們已經將頻率轉換為組內的比例，即轉換為垂直剖面：
Gr1 Gr2 Total Yes p1 p2 p No q1 q2 q -------------- 100% 100% 100% n1 n2 N通常（不是耶茨更正）這張表，在你用比例代替公式中的頻率後，看起來像這樣：
請記住, 兩個輪廓的加權平均輪廓的元素
(p1,q1)和(p2,q2), 並將其代入公式, 得到分子和分母都除以並得到
“是”響應的比例 z 檢驗的平方 z 統計量。
因此，
2x2同質性卡方統計量（和檢驗）等價於兩個比例的 z 檢驗。在給定列中的卡方檢驗中計算的所謂預期頻率是加權（按組n）平均垂直剖面（即“平均組”的剖面）乘以該組的n。因此，卡方檢驗了兩組配置文件中的每一個與該平均組配置文件的偏差，這相當於測試組配置文件彼此之間的差異，這是比例的 z 檢驗。這是變量關聯度量（卡方）和組差異度量（z 檢驗統計量）之間聯繫的一個演示。屬性關聯和組差異（通常）是同一事物的兩個方面。
（根據@Antoni 的要求，顯示了上面第一行的擴展）：