Pearson 的卡方統計如何近似卡方分佈
因此，如果給定 Pearson 的卡方統計量表，則其形式為：
那麼這近似, 卡方分佈自由度，作為樣本大小變大。
我不明白這種漸近近似是如何工作的。我覺得像分母中的 ’s 應替換為. 因為那會給你， 為了. 但這當然有自由度，不是，很明顯還有其他事情正在發生。
我將直觀地激發這一點，並說明對於兩組的特殊情況它是如何產生的，假設你很樂意接受二項式的正態近似。
希望這足以讓您很好地了解它為什麼會這樣工作。
你說的是卡方擬合優度檢驗。假設有 k 組（你有它作為 n ，但我傾向於稱它為有原因是有原因的 k ）。
在適用於這種情況的模型中，計數 Oi , i=1,2,…,k 是多項式的。
讓 N=∑ki=1Oi . 計數取決於總和 N （除了一些相當罕見的情況）；每個類別都有一些預先指定的概率， pi,i=1,2,…,k ，總和為 1 .
就像二項式一樣，多項式有一個漸近正態逼近——事實上，如果你只考慮給定單元格中的計數（“在這個類別中”與否），那麼它就是二項式的。就像二項式一樣，計數的方差（以及它們在多項式中的協方差）是 N 和 p 的; 您不會單獨估計方差。
也就是說，如果預期計數足夠大，則計數向量近似正態且均值 Ei=Npi . 但是，因為計數的條件是 N ，分佈是退化的（它存在於維度的超平面中 k−1 , 因為指定 k−1 計數修復剩餘的計數）。方差-協方差矩陣具有對角線項 Npi(1−pi) 和對角線元素 −Npipj ，並且它是等級的 k−1 因為退化。
因此，對於單個細胞 Var(Oi)=Npi(1−pi) ，你可以寫 zi=Oi−Ei√Ei(1−pi) . 但是，這些術語是相關的（負相關），所以如果你將這些的平方相加 zi 它不會有 a χ2k 分佈（就像它們是獨立的標準化變量一樣）。相反，我們可以潛在地構建一組 k−1 來自原始變量的自變量 k 它們是獨立的並且仍然近似正常（漸近正常）。如果我們將它們的（標準化）平方相加，我們會得到 χ2k−1 . 有一些方法可以構建這樣的一組 k−1 明確地變量，但幸運的是，有一個非常簡潔的捷徑可以避免大量的工作，並產生相同的結果（相同的統計值），就好像我們遇到了麻煩一樣。
為簡單起見，考慮兩個類別的擬合優度（現在是二項式）。在第一個單元格中的概率是 p1=p ，並且在第二個單元格中是 p2=1−p . 有 X=O1 在第一個單元格中的觀察結果，以及 N−X=O2 在第二個單元格中。
觀察到的第一個細胞計數， X 是漸近的 N(Np,Np(1−p)) . 我們可以將其標準化為 z=X−Np√Np(1−p) . 然後 z2=(X−Np)2Np(1−p) 大約是 ∼χ21 （漸近地 ∼χ21 ）。
請注意
∑2i=1(Oi−Ei)2Ei=[X−Np]2Np+[(N−X)−(N−Np)]2N(1−p)=[X−Np]2Np+[X−Np]2N(1−p)=(X−Np)2[1Np+1N(1−p)] .
但
1Np+1N(1−p)=Np+N(1−p)Np.N(1−p)=1Np(1−p) .
所以 ∑2i=1(Oi−Ei)2Ei=(X−Np)2Np(1−p) 哪一個是 z2 我們從-漸近地開始 χ21 隨機變量。兩個細胞之間的依賴性是這樣的，通過潛水 Ei 代替 Ei(1−pi) 我們精確地補償了兩者之間的依賴關係，並得到原始的近似正態隨機變量平方。
當有兩個以上的類別時，相同的和依賴關係由相同的方法處理——通過對 (Oi−Ei)2Ei 代替 (Oi−Ei)2Ei(1−pi) 全面的 k 條款，你準確地補償了依賴的影響，並獲得了一個等於總和的總和 k−1 獨立法線。
有多種方法可以顯示統計量具有漸近分佈 χ2k−1 對於更大的 k （它在一些本科統計學課程中有所介紹，並且可以在許多本科水平的文本中找到），但我不想讓你超出你的問題所暗示的水平。事實上，在互聯網上的註釋中很容易找到推導，例如，這里大約兩頁的空間中有兩個不同的推導