統計中復數的使用
最近有人問我，我的一位電氣工程師朋友是否在統計中使用了複數。除了在其他領域的統計應用（例如量子力學）和一些特徵函數之外，我無法真正識別出許多我腦海中的東西。我很好奇，除了其他領域的應用之外，是否還有其他人可以識別統計中復數的用途。
統計中復數的使用有兩大類，一類是基礎問題使用複數（導致複雜的隨機變量），另一類是使用複數的工具用於描述僅涉及實數隨機變量的統計問題. （我將拋開使用複雜概率的概率理論——這些理論非常瘋狂，我從來沒有看到它們的用途。）
**涉及復雜隨機變量的問題：**當您處理感興趣的隨機變量本身就是複數（即復雜隨機變量）的潛在問題時，統計中就會出現複數。這些應用往往出現在工程和物理問題的背景下，其中復數用於描述一些感興趣的現象，我們希望在描述這些現象時增加隨機性。特別是，它們經常出現在處理由複數或電路中描述的圓周運動的背景下。已經有大量關於該領域的統計文獻，包括正常隨機變量的複雜版本的結果等（有關概述，請參見例如，Eriksson 等人 2009 年，Eriksson 等人 2010 年）。（注意：由於您的朋友是一名電氣工程師，因此可能值得向他介紹 IEEE 發表的各種處理複雜隨機變量的著作。當分析師希望將隨機性添加到某個方面的某些方面時，這些通常用於電氣工程工作中。使用複數的潛在電氣問題。）
這種情況的另一個常見示例是，當您有多項式具有隨機生成的實係數時，其中係數的分佈是連續的。在這種情況下，即使初始隨機變量是實數，這也會導致多項式的複根，因此當您以分解形式編寫多項式時，這涉及復隨機變量（例如，參見Shepp 和 Vanderbei 1995、Ibragimov 和Zeitouni 1997 年，Kabluchko 和 Zaporozhets 2014 年）。這是一個簡單的例子，其中涉及實數的隨機對象會產生復雜的隨機變量。
**處理實隨機變量的複雜工具：**處理實隨機變量但使用複數的最常見的統計工具集是傅里葉變換的應用工具各種統計問題。這包括用於描述傅立葉空間分佈的特徵函數、用於識別時間序列分析中的信號頻率的頻率空間週期圖，以及時間序列分析中的各種頻譜密度。這些都是使用複數的標準數學工具應用於概率問題的例子，其中基礎隨機變量是實數。這些方法通常用於時間序列分析，但有時在處理涉及卷積的棘手概率問題時也會出現。（實際上，中心極限定理的最簡單證明使用了正態分佈的特徵函數，因此涉及到復數的使用。）