維基百科關於二項式比例的 Clopper-Pearson 區間的文本
我正在嘗試理解維基百科中關於Clopper-Pearson 區間的以下文本（即 2019-09-25）：
Clopper-Pearson 區間是一種早期且非常常用的計算二項式置信區間的方法。 [8] 這通常被稱為“精確”方法，因為它基於二項分佈的累積概率（即，完全正確的分佈而不是近似值）。但是，在我們知道總體規模的情況下，區間可能不是最小的，因為它們包含不可能的比例：例如，對於規模為 10 的總體，區間 [0.35, 0.65] 會太大 ，因為真實比例不能介於 0.35 和 0.4 之間，或介於 0.6 和 0.65 之間。
我確實明白，在給定的示例中，不可能獲得代表0.35 的二項式比例的結果（因為這需要 3.5 次成功，這不是可能的結果）。
但是，我相信 CP 間隔是為了代表潛在成功概率的範圍（“真實比例”），這些概率具有產生觀察到的（整數）結果的最小概率。據我所知，這些“真實比例”可以取 0.35 到 0.4 之間或 0.6 到 0.65 之間的值。
我看錯了嗎，還是引用的文字不正確？
更新
經過反思，我可以看到我的困惑來自哪裡。在我工作的環境中，我們有 $ N $ 有一個客戶 $ p $ 發生在他們身上的概率。我們可觀察到的是實際遇到此事件的客戶端數量。
所以，我們不是從一個有綠色和紅色球的花瓶中取樣，而這些值 $ p $ 可以承擔完全獨立的 $ N $ （它們絕對不是的整數倍 $ 1/N $ ）。我想，引用的維基百科文本指的是花瓶案例，儘管頁面的介紹似乎也非常適用於我的情況：
在統計學中，二項式比例置信區間是根據一系列成功-失敗實驗（伯努利試驗）的結果計算的成功概率的置信區間。換句話說，二項式比例置信區間是僅知道實驗次數 n 和成功次數 nS 時成功概率 p 的區間估計。
而我認為維基百科指的是我的客戶群 $ N $ 作為人口，他們實際上指的是花瓶的大小。
鑑於此，我現在可以理解置信區間的限制以及對 CP 區間效率的討論。鑑於我的概率值的連續性，我認為 CP 方法的任何限制都不適用於我的情況。
維基百科上的聲明中融合了多個概念。
- *讓我們首先解決“間隔可能不是最小的”*這句話
- 然後看看不同的問題*“我們知道人口規模的情況”*
第 1 點
間隔可能不是最小的
間隔不是有效的（過於保守）是正確的。但出於不同的原因。
Clopper-Pearson 區間包含以下值 $ p $ 在某個特定的假設檢驗 $ \alpha $ 水平會通過（不拒絕空值）。（這就是置信區間的工作方式）
二項分佈的問題是在最後一部分“在某個特定條件下的假設檢驗 $ \alpha $ “。由於結果變量是離散的，因此與這些結果相關的 p 值也是離散的。
假設您希望測試拋硬幣過程的假設 p=0.5（對於 p 的所有值，您使用置信區間） $ \alpha=0.01 $ 然後你翻轉八次，那麼觀察結果，如果假設為真，則分佈為
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.004 0.032 0.109 0.219 0.273 0.219 0.109 0.032 0.004值 1 到 7 將使您不會在這個預設的 1% 水平上拒絕假設。但是這種接受（即不拒絕）將在 99.2% 的時間內發生，而不是 99%（如果 p=0.5 為真）。
所以這意味著置信區間將是保守的。它將比規定的更頻繁地包含實際參數值。Clopper-Pearson 區間將保證該區間至少包含參數 $ x $ 百分比的時間，但它不需要完全是那個百分比。
這與維基百科上的進一步文本有關
例如，95% Clopper-Pearson 區間的真實覆蓋率可能遠高於 95%，具體取決於 n 和 θ。因此，區間可能比達到 95% 置信度所需的更寬
第 2 點
我們知道人口規模的情況
這是指從具有（已知）固定大小的總體中抽樣。例如，從花瓶中更換取樣 $ n $ 球，其中一個比例 $ p $ 有一定的特徵（比如紅色）。顯然，這個比例需要是的倍數 $ 1/n $ . 花瓶裡只能有整數個紅球。
假設你有一個有十個球的花瓶，並希望通過採樣來預測有多少是紅色的。那麼說紅球個數在0.35到0.65之間的比例就沒有意義了（相當於’花瓶裡的紅球個數在3.5到6.5之間'）。
所以有兩個問題使得 Clopper-Pearson 區間不是最小的。這可能在維基百科上混在一起不方便，或者沒有很清楚地說明。
第一點實際上只說明區間沒有效率；它可能具有更高的真實覆蓋率。但是沒有辦法讓間隔變小。除非我們使用先驗知識並且可以使用貝葉斯區間。
第二點有點奇怪。對小群體進行替換抽樣並不是典型的情況。我相信它可能已被用作間隔效率低下的論據，而第一點則意味著/應該被使用。