有沒有區別𝑟2r2r^2和𝑅2R2R^2?
相關係數通常用大寫字母書寫但有時不是。我想知道兩者之間是否真的有區別和? 能是指相關係數以外的其他東西嗎？
關於這個問題的符號似乎略有不同。
R 在多重相關的上下文中使用，稱為“多重相關係數”。它是觀察到的反應之間的相關性 Y 和 ˆY 由模型擬合。這 ˆY 通常由幾個預測變量預測 Xi ，例如 ˆY=ˆβ0+ˆβ1X1+ˆβ2X2 其中截距和斜率係數 ˆβi 已經從數據中估算出來了。注意 0≤R≤1 .
符號 r 是雙變量情況下使用的“樣本相關係數”——即有兩個變量， X 和 Y - 它通常意味著之間的相關性 X 和 Y 在您的樣本中。您可以將其視為相關性的估計 ρ 在更廣泛的人群中的兩個變量之間。為了關聯兩個變量，不必確定哪個是預測變量，哪個是響應變量。確實，如果您發現兩者之間的相關性 Y 和 X 這將與之間的相關性相同 X 和 Y ，因為相關性是對稱的。注意 −1≤r≤1 當符號 r 以這種方式使用，與 r<0 （負相關）如果兩個變量呈線性遞減關係（一個上升，另一個趨於下降）。
符號變得不一致的地方是當有兩個變量時， X 和 Y , 並進行簡單的線性回歸。這意味著確定一個變量， Y ，作為響應變量，另一個， X ，作為預測變量，並擬合模型 ˆY=ˆβ0+ˆβ1X . 有些人也使用這個符號 r 表示之間的相關性 Y 和 ˆY 而其他人（為了與多元回歸保持一致）寫 R . 請注意，如果模型包含截距項，則觀察到的響應和擬合響應之間的相關性必然大於或等於零。*這是我不喜歡使用該符號的原因之一 r 在這種情況下：之間的相關性 X 和 Y 可能是負的，而兩者之間的相關性 Y 和 ˆY 是正數（實際上它只是兩者之間相關性的模數 X 和 Y ) 但兩者都可以用符號書寫 r . 我看過一些教科書和維基百科的文章，在這兩種含義之間幾乎可以互換 r 並發現它不必要地令人困惑。我更喜歡使用符號 R 對於之間的相關性 Y 和 ˆY 在單回歸和多元回歸中。
在簡單回歸和多元回歸中，只要模型中擬合了截距項，則 R 之間 Y 和 ˆY 只是決定係數的平方根 R2 （通常稱為“解釋的方差比例”或類似名稱）。特別是在簡單線性回歸的情況下，那麼 R2=r2 我在哪裡寫作 r 對於之間的相關性 X 和 Y ， 和 R2 可以表示回歸的確定係數或之間相關性的平方 Y 和 ˆY . 自從 −1≤r≤1 和 0≤R≤1 ， 這意味著 R=|r| . 因此，例如，如果你得到之間的相關性 X 和 Y 的 r=−0.7 那麼之間的相關性 Y 和裝的 ˆY 從簡單的線性回歸 Y=ˆβ0+ˆβ1X 將是 R=0.7 決定係數為 R2=0.49 即您的模型將解釋響應中幾乎一半的變化。
如果模型中沒有包含截距項，則符號 R2 是模棱兩可的。它通常用作決定係數，但這通常會以與通常不同的方式計算，因此在讀取統計軟件的輸出時要小心。那麼就不再和多重相關的平方一樣了 R , 在雙變量情況下也不等於 r2 ！實際上，當排除截距項時，決定係數甚至可能變為負數，在這種情況下，“R-squared”顯然是用詞不當。
(∗) 之間的相關性是可能的 y 和 ˆy 如果不包括截距項，則變為負數，例如 (0,2),(1,0),(2,1) 具有最適合的 OLS ˆy=0.4x 沒有攔截，並且 Corr(y,ˆy)=Corr(x,y)=−0.5 .