有沒有區別𝑟2r2r^2和𝑅2R2R^2?
相關係數通常用大寫字母書寫但有時不是。我想知道兩者之間是否真的有區別和? 能是指相關係數以外的其他東西嗎？
關於這個問題的符號似乎略有不同。
$ R $ 在多重相關的上下文中使用，稱為“多重相關係數”。它是觀察到的反應之間的相關性 $ Y $ 和 $ \hat Y $ 由模型擬合。這 $ \hat Y $ 通常由幾個預測變量預測 $ X_i $ ，例如 $ \hat Y = \hat \beta_0 + \hat \beta_1 X_1 + \hat \beta_2 X_2 $ 其中截距和斜率係數 $ \hat \beta_i $ 已經從數據中估算出來了。注意 $ 0 \leq R \leq 1 $ .
符號 $ r $ 是雙變量情況下使用的“樣本相關係數”——即有兩個變量， $ X $ 和 $ Y $ - 它通常意味著之間的相關性 $ X $ 和 $ Y $ 在您的樣本中。您可以將其視為相關性的估計 $ \rho $ 在更廣泛的人群中的兩個變量之間。為了關聯兩個變量，不必確定哪個是預測變量，哪個是響應變量。確實，如果您發現兩者之間的相關性 $ Y $ 和 $ X $ 這將與之間的相關性相同 $ X $ 和 $ Y $ ，因為相關性是對稱的。注意 $ -1 \leq r \leq 1 $ 當符號 $ r $ 以這種方式使用，與 $ r < 0 $ （負相關）如果兩個變量呈線性遞減關係（一個上升，另一個趨於下降）。
符號變得不一致的地方是當有兩個變量時， $ X $ 和 $ Y $ , 並進行簡單的線性回歸。這意味著確定一個變量， $ Y $ ，作為響應變量，另一個， $ X $ ，作為預測變量，並擬合模型 $ \hat Y = \hat \beta_0 + \hat \beta_1 X $ . 有些人也使用這個符號 $ r $ 表示之間的相關性 $ Y $ 和 $ \hat Y $ 而其他人（為了與多元回歸保持一致）寫 $ R $ . 請注意，如果模型包含截距項，則觀察到的響應和擬合響應之間的相關性必然大於或等於零。*這是我不喜歡使用該符號的原因之一 $ r $ 在這種情況下：之間的相關性 $ X $ 和 $ Y $ 可能是負的，而兩者之間的相關性 $ Y $ 和 $ \hat Y $ 是正數（實際上它只是兩者之間相關性的模數 $ X $ 和 $ Y $ ) 但兩者都可以用符號書寫 $ r $ . 我看過一些教科書和維基百科的文章，在這兩種含義之間幾乎可以互換 $ r $ 並發現它不必要地令人困惑。我更喜歡使用符號 $ R $ 對於之間的相關性 $ Y $ 和 $ \hat Y $ 在單回歸和多元回歸中。
在簡單回歸和多元回歸中，只要模型中擬合了截距項，則 $ R $ 之間 $ Y $ 和 $ \hat Y $ 只是決定係數的平方根 $ R^2 $ （通常稱為“解釋的方差比例”或類似名稱）。特別是在簡單線性回歸的情況下，那麼 $ R^2 = r^2 $ 我在哪裡寫作 $ r $ 對於之間的相關性 $ X $ 和 $ Y $ ， 和 $ R^2 $ 可以表示回歸的確定係數或之間相關性的平方 $ Y $ 和 $ \hat Y $ . 自從 $ -1 \leq r \leq 1 $ 和 $ 0 \leq R \leq 1 $ ， 這意味著 $ R = |r| $ . 因此，例如，如果你得到之間的相關性 $ X $ 和 $ Y $ 的 $ r=-0.7 $ 那麼之間的相關性 $ Y $ 和裝的 $ \hat Y $ 從簡單的線性回歸 $ Y = \hat \beta_0 + \hat \beta_1 X $ 將是 $ R = 0.7 $ 決定係數為 $ R^2 = 0.49 $ 即您的模型將解釋響應中幾乎一半的變化。
如果模型中沒有包含截距項，則符號 $ R^2 $ 是模棱兩可的。它通常用作決定係數，但這通常會以與通常不同的方式計算，因此在讀取統計軟件的輸出時要小心。那麼就不再和多重相關的平方一樣了 $ R $ , 在雙變量情況下也不等於 $ r^2 $ ！實際上，當排除截距項時，決定係數甚至可能變為負數，在這種情況下，“R-squared”顯然是用詞不當。
$ (*) $ 之間的相關性是可能的 $ y $ 和 $ \hat y $ 如果不包括截距項，則變為負數，例如 $ {(0,2), (1,0), (2,1)} $ 具有最適合的 OLS $ \hat y = 0.4x $ 沒有攔截，並且 $ \text{Corr}(y, \hat y) = \text{Corr}(x,y) = -0.5 $ .