證明如果協方差為零則不存在線性關係

我知道零協方差並不意味著獨立，但是每個人都說如果存在依賴並且協方差為零，那麼它就是非線性依賴。

人們對皮爾遜 R 的解釋基於這一事實（您越接近零，關係的線性越差）。

有正式的證明嗎？

我試著自己做，但我做不到。我認為概括這個想法的命題如下：

如果 $ cov(X,Y)\ne0 $ 那麼存在一個 Z 使得 $ cov(X,Z)=0 $ 和 $ E[Y|X]=bX+E[Z|X] $

這是您問題末尾的數學陳述的證明：我們可以找到 $ Z $ 這與 $ X $ 並滿足 $$ \mathbb{E}(Y|X) = b X + \mathbb{E}(Z|X) $$ 通過假設 $ Z = Y - bX $ ，然後選擇 $ b $ 這使得 $ \mathrm{Cov}(X, Z) = 0 $ 真的。為了這 $ b $ 我們有 $$ 0 = \mathrm{Cov}(X, Z) = \mathrm{Cov}(X, Y - bX) = \mathrm{Cov}(X, Y) - b \mathrm{Var}(X), $$ 因此 $$ b = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\mathrm{Var}(X)}. $$ （注意同樣 $ b $ 被發現為線性回歸線的斜率。）我們有 $ b = 0 $ , 當且僅當 $ \mathrm{Cov}(X,Y) = 0 $ .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/432160