證明如果協方差為零則不存在線性關係

我知道零協方差並不意味著獨立，但是每個人都說如果存在依賴並且協方差為零，那麼它就是非線性依賴。

人們對皮爾遜 R 的解釋基於這一事實（您越接近零，關係的線性越差）。

有正式的證明嗎？

我試著自己做，但我做不到。我認為概括這個想法的命題如下：

如果 cov(X,Y)≠0 那麼存在一個 Z 使得 cov(X,Z)=0 和 E[Y|X]=bX+E[Z|X]

這是您問題末尾的數學陳述的證明：我們可以找到 Z 這與 X 並滿足 E(Y|X)=bX+E(Z|X)

通過假設 Z=Y−bX ，然後選擇 b 這使得 Cov(X,Z)=0 真的。為了這 b 我們有 0=Cov(X,Z)=Cov(X,Y−bX)=Cov(X,Y)−bVar(X),

因此 b=Cov(X,Y)Var(X).

（注意同樣 b 被發現為線性回歸線的斜率。）我們有 b=0 , 當且僅當 Cov(X,Y)=0 .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/432160