均勻隨機變量的獨立性和相關性的關係

我的問題很簡單：讓 $ X $ 和 $ Y $ 是兩個不相關的均勻隨機變量 $ [-1,1] $ . 他們是獨立的嗎？

我的印像是，兩個隨機的、不相關的變量只有在它們的聯合分佈是正態的情況下才必然是獨立的。但是，我無法提出反例來反駁我所詢問的主張。請提供反例或證明。

獨立意味著不相關，但暗示並不相反。

不相關意味著僅在某些條件下獨立。例如，如果您有一個雙變量 normal，則不相關意味著獨立（如您所說）。

在變量不相關但不獨立的情況下，很容易構建具有均勻邊距的二元分佈。這裡有一些例子：

1. 考慮一個額外的隨機變量 $ B $ 取值 $ \pm 1 $ 每個都有概率 $ \frac12 $ ， 獨立於 $ X $ . 然後讓 $ Y=BX $ .
2. 取兩個獨立制服的二元分佈，並在每個邊距上將其切成 4 個相等大小的部分（產量 $ 4\times 4=16 $ 件，每個大小 $ \frac12\times\frac12 $ ）。現在從 4 個角塊和 4 個中心塊中取出所有概率，然後將其均勻地放入其他 8 個塊中。
3. 讓 $ Y = 2|X|-1 $ .

在每種情況下，變量都是不相關的，但不是獨立的（例如，如果 $ X=1 $ ， 什麼是 $ P(-0.1<Y<0.1), $ ?)

*如果您指定一些具有均勻邊距的特定雙變量分佈族，則在該公式下，*唯一不相關的分佈可能是獨立的。那麼不相關就意味著獨立。

例如，如果您將注意力限制在說高斯 copula，那麼我認為唯一不相關的有獨立邊距；您可以輕鬆地重新縮放，以便每個邊距都在 (-1,1) 上。

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一些用於從這些雙變量中採樣和繪製的 R 代碼（不一定有效）：

   n <- 100000
   x <- runif(n,-1,1)
   b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
   y1 <-b*x
   y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
          runif(n,-.5,.5),
          runif(n,0.5,1)*b
         )
   y3 <- 2*abs(x)-1

   par(mfrow=c(1,3))
   plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
   plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
   abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
   abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
   plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

（在這個公式中， $ (Y_2, Y_3) $ 給出第四個例子）

[順便說一下，通過將所有這些轉換為常態（即轉換 $ X $ 到 $ \Phi^{-1}(\frac12(X+1)) $ 等等），你會得到不相關的不獨立的正態隨機變量的例子。他們自然不是共同正常的。]

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/398050