標準正態隨機變量的乘積符號
問題主要在標題中：
給定兩個具有相關性的標準正態隨機變量 $ \rho $ ，他們產品的符號分佈是什麼？
我明白當 $ \rho=0 $ ，我們有兩個獨立同分佈的標準正態隨機變量，因此，它們以概率獨立地取正值和負值 $ \frac12 $ .
但我不知道該怎麼辦如果 $ \rho\ne0 $ . 我們可以採取 $ \rho>0 $ 不失一般性（因為如果 $ X $ 和 $ Y $ 是具有相關性的標準正態分佈 $ \rho $ ， 然後 $ -X $ 和 $ Y $ 是具有相關性的標準正態分佈 $ -\rho $ ）。但我無法繼續前進。
只要 $ (X,Y) $ 是具有相關性的標準雙變量正態 $ \rho $ , 的概率 $ XY $ 可以使用正像限概率的眾所周知的結果來找到是正的還是負的$$ P(X>0,Y>0)=\frac14+\frac1{2\pi}\sin^{-1}\rho \tag{1} $$
（這可能之前在這裡討論過，但我找不到問題。）
你有
$$ \begin{align} P(XY>0)&=P(X>0,Y>0)+P(X<0,Y<0) \&=P(X>0,Y>0)+P(-X>0,-Y>0) \end{align} $$
因為 $ (-X,-Y) $ 具有相同的分佈 $ (X,Y) $ , 這個概率只是$$ P(XY>0)=2P(X>0,Y>0) $$
相似地，
$$ \begin{align} P(XY<0)&=P(X>0,Y<0)+P(X<0,Y>0) \&=P(X>0,-Y>0)+P(-X>0,Y>0) \end{align} $$
再次， $ (X,-Y) $ 和 $ (-X,Y) $ 有相同的分佈，所以
$$ P(XY<0)=2P(X>0,-Y>0) $$
而且因為 $ (X,-Y) $ 是具有相關性的雙變量正態分佈 $ -\rho $ ，我們從 $ (1) $ 那
$$ P(X>0,-Y>0)=\frac14-\frac1{2\pi}\sin^{-1}\rho $$