標準正態隨機變量的乘積符號

問題主要在標題中：

給定兩個具有相關性的標準正態隨機變量 ρ ，他們產品的符號分佈是什麼？

我明白當 ρ=0 ，我們有兩個獨立同分佈的標準正態隨機變量，因此，它們以概率獨立地取正值和負值 12 .

但我不知道該怎麼辦如果 ρ≠0 . 我們可以採取 ρ>0 不失一般性（因為如果 X 和 Y 是具有相關性的標準正態分佈 ρ ， 然後 −X 和 Y 是具有相關性的標準正態分佈 −ρ ）。但我無法繼續前進。

只要 (X,Y) 是具有相關性的標準雙變量正態 ρ , 的概率 XY 可以使用正像限概率的眾所周知的結果來找到是正的還是負的P(X>0,Y>0)=14+12πsin−1ρ

（這可能之前在這裡討論過，但我找不到問題。）

你有

P(XY>0)=P(X>0,Y>0)+P(X<0,Y<0)&=P(X>0,Y>0)+P(−X>0,−Y>0)

因為 (−X,−Y) 具有相同的分佈 (X,Y) , 這個概率只是P(XY>0)=2P(X>0,Y>0)

相似地，

P(XY<0)=P(X>0,Y<0)+P(X<0,Y>0)&=P(X>0,−Y>0)+P(−X>0,Y>0)

再次， (X,−Y) 和 (−X,Y) 有相同的分佈，所以

P(XY<0)=2P(X>0,−Y>0)

而且因為 (X,−Y) 是具有相關性的雙變量正態分佈 −ρ ，我們從 (1) 那

P(X>0,−Y>0)=14−12πsin−1ρ

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/547972