相關矩陣零特徵值的充分必要條件
給定隨機變量, 有概率分佈, 相關矩陣是半正定的，即其特徵值為正或零。
我對以下條件感興趣是必要和/或充分的具有 零特徵值。例如，一個充分條件是隨機變量不是獨立的：對於一些實數. 例如，如果， 然後是一個特徵向量特徵值為零。如果我們有上的獨立線性約束的這種類型，這意味著零特徵值。
至少有一種額外的（但微不足道的）可能性，當對於一些（IE)，因為在那種情況下有一列和一行零：. 由於它不是很有趣，我假設概率分佈不是那種形式。
我的問題是：線性約束是誘導零特徵值的唯一方法（如果我們禁止上面給出的微不足道的例外），或者對隨機變量的非線性約束也可以產生零特徵值?
也許通過簡化符號，我們可以帶出基本思想。 事實證明，我們不需要涉及期望或複雜的公式，因為一切都是純代數的。
數學對象的代數性質
問題涉及（1）有限隨機變量集的協方差矩陣之間的關係 $ X_1, \ldots, X_n $ (2) 這些變量之間的線性關係，被視為向量。
所討論的向量空間是所有有限方差隨機變量的集合（在任何給定的概率空間上） $ (\Omega,\mathbb P) $ ) 對幾乎可以肯定的常數變量的子空間取模，記為 $ \mathcal{L}^2(\Omega,\mathbb P)/\mathbb R. $ （也就是說，我們考慮兩個隨機變量 $ X $ 和 $ Y $ 當概率為零時是相同的向量 $ X-Y $ 與預期不同。）我們只處理有限維向量空間 $ V $ 由產生的 $ X_i, $ 這就是使它成為代數問題而不是分析問題的原因。
關於方差我們需要知道的
$ V $ 不僅僅是一個向量空間：它是一個*二次模塊，*因為它配備了方差。 關於方差，我們只需要知道兩件事：
- 方差是標量值函數 $ Q $ 與財產 $ Q(aX)=a^2Q(X) $ 對於所有向量 $ X. $
- 方差是非退化的。
第二個需要一些解釋。 $ Q $ 確定“點積”，它是由下式給出的對稱雙線性形式
$$ X\cdot Y = \frac{1}{4}\left(Q(X+Y) - Q(X-Y)\right). $$
（這當然就是變量的協方差 $ X $ 和 $ Y. $ ) 向量 $ X $ 和 $ Y $ 當它們的點積是正交的 $ 0. $ 任何向量集的 正交補集 $ \mathcal A \subset V $ 由正交於每個元素的所有向量組成 $ \mathcal A, $ 書面
$$ \mathcal{A}^0 = {v\in V\mid a . v = 0\text{ for all }v \in V}. $$
它顯然是一個向量空間。什麼時候 $ V^0 = {0} $ , $ Q $ 是非退化的。
請允許我證明方差確實是非退化的，即使它看起來很明顯。認為 $ X $ 是一個非零元素 $ V^0. $ 這意味著 $ X\cdot Y = 0 $ 對所有人 $ Y\in V; $ 等效地，
$$ Q(X+Y) = Q(X-Y) $$
對於所有向量 $ Y. $ 服用 $ Y=X $ 給
$$ 4 Q(X) = Q(2X) = Q(X+X) = Q(X-X) = Q(0) = 0 $$
因此 $ Q(X)=0. $ 然而，我們知道（也許使用切比雪夫不等式）唯一具有零方差的隨機變量幾乎肯定是恆定的，這將它們與 $ V, $ QED。
解釋問題
回到問題，在前面的符號中，隨機變量的協方差矩陣只是它們所有點積的規則數組，
$$ T = (X_i\cdot X_j). $$
有一種很好的思考方式 $ T $ ：它定義了一個線性變換 $ \mathbb{R}^n $ 以通常的方式，通過發送任何向量 $ x=(x_1, \ldots, x_n)\in\mathbb{R}^n $ 進入向量 $ T(x)=y=(y_1, \ldots, x_n) $ 誰的 $ i^\text{th} $ 分量由矩陣乘法規則給出
$$ y_i = \sum_{j=1}^n (X_i\cdot X_j)x_j. $$
這個線性變換的內核是它發送到零的子空間*：*
$$ \operatorname{Ker}(T) = {x\in \mathbb{R}^n\mid T(x)=0}. $$
上述等式意味著當 $ x\in \operatorname{Ker}(T), $ 對於每個 $ i $
$$ 0 = y_i = \sum_{j=1}^n (X_i\cdot X_j)x_j = X_i \cdot \left(\sum_j x_j X_j\right). $$
因為這對每個人都是正確的 $ i, $ 它適用於由 $ X_i $ ：即， $ V $ 本身。因此，當 $ x\in\operatorname{Ker}(T), $ 給出的向量 $ \sum_j x_j X_j $ 在於 $ V^0. $ 因為方差是非退化的，這意味著 $ \sum_j x_j X_j = 0. $ 那是， $ x $ 描述了之間的線性依賴關係 $ n $ 原始隨機變量。
您可以輕鬆檢查此推理鍊是否可逆：
之間的線性依賴關係 $ X_j $ 因為向量與內核的元素一一對應 $ T. $
（請記住，該聲明仍然認為 $ X_j $ 定義為位置的不斷變化——也就是說，作為 $ \mathcal{L}^2(\Omega,\mathbb P)/\mathbb R $ ——而不僅僅是隨機變量。）
最後，根據定義，特徵值 $ T $ 是任何標量 $ \lambda $ 存在一個非零向量 $ x $ 和 $ T(x) = \lambda x. $ 什麼時候 $ \lambda=0 $ 是一個特徵值，相關特徵向量的空間（顯然）是 $ T. $
概括
**我們已經得到了問題的答案：**隨機變量的線性依賴集，qua元素 $ \mathcal{L}^2(\Omega,\mathbb P)/\mathbb R, $ 與其協方差矩陣的核一一對應 $ T. $ 之所以如此，是因為方差是非退化的二次形式。核也是與零特徵值相關聯的特徵空間（或者當沒有零特徵值時只是零子空間）。
參考
我在很大程度上採用了第四章的符號和一些語言
讓-皮埃爾·塞爾，《算術課程》。 施普林格出版社 1973 年。