相關矩陣零特徵值的充分必要條件
給定隨機變量, 有概率分佈, 相關矩陣是半正定的，即其特徵值為正或零。
我對以下條件感興趣是必要和/或充分的具有 零特徵值。例如，一個充分條件是隨機變量不是獨立的：對於一些實數. 例如，如果， 然後是一個特徵向量特徵值為零。如果我們有上的獨立線性約束的這種類型，這意味著零特徵值。
至少有一種額外的（但微不足道的）可能性，當對於一些（IE)，因為在那種情況下有一列和一行零：. 由於它不是很有趣，我假設概率分佈不是那種形式。
我的問題是：線性約束是誘導零特徵值的唯一方法（如果我們禁止上面給出的微不足道的例外），或者對隨機變量的非線性約束也可以產生零特徵值?
也許通過簡化符號，我們可以帶出基本思想。 事實證明，我們不需要涉及期望或複雜的公式，因為一切都是純代數的。
數學對象的代數性質
問題涉及（1）有限隨機變量集的協方差矩陣之間的關係 X1,…,Xn (2) 這些變量之間的線性關係，被視為向量。
所討論的向量空間是所有有限方差隨機變量的集合（在任何給定的概率空間上） (Ω,P) ) 對幾乎可以肯定的常數變量的子空間取模，記為 L2(Ω,P)/R. （也就是說，我們考慮兩個隨機變量 X 和 Y 當概率為零時是相同的向量 X−Y 與預期不同。）我們只處理有限維向量空間 V 由產生的 Xi, 這就是使它成為代數問題而不是分析問題的原因。
關於方差我們需要知道的
V 不僅僅是一個向量空間：它是一個*二次模塊，*因為它配備了方差。 關於方差，我們只需要知道兩件事：
- 方差是標量值函數 Q 與財產 Q(aX)=a2Q(X) 對於所有向量 X.
- 方差是非退化的。
第二個需要一些解釋。 Q 確定“點積”，它是由下式給出的對稱雙線性形式
X⋅Y=14(Q(X+Y)−Q(X−Y)).
（這當然就是變量的協方差 X 和 Y. ) 向量 X 和 Y 當它們的點積是正交的 0. 任何向量集的 正交補集 A⊂V 由正交於每個元素的所有向量組成 A, 書面
A0=v∈V∣a.v=0 for all v∈V.
它顯然是一個向量空間。什麼時候 V0=0 , Q 是非退化的。
請允許我證明方差確實是非退化的，即使它看起來很明顯。認為 X 是一個非零元素 V0. 這意味著 X⋅Y=0 對所有人 Y∈V; 等效地，
Q(X+Y)=Q(X−Y)
對於所有向量 Y. 服用 Y=X 給
4Q(X)=Q(2X)=Q(X+X)=Q(X−X)=Q(0)=0
因此 Q(X)=0. 然而，我們知道（也許使用切比雪夫不等式）唯一具有零方差的隨機變量幾乎肯定是恆定的，這將它們與 V, QED。
解釋問題
回到問題，在前面的符號中，隨機變量的協方差矩陣只是它們所有點積的規則數組，
T=(Xi⋅Xj).
有一種很好的思考方式 T ：它定義了一個線性變換 Rn 以通常的方式，通過發送任何向量 x=(x1,…,xn)∈Rn 進入向量 T(x)=y=(y1,…,xn) 誰的 ith 分量由矩陣乘法規則給出
yi=n∑j=1(Xi⋅Xj)xj.
這個線性變換的內核是它發送到零的子空間*：*
Ker(T)=x∈Rn∣T(x)=0.
上述等式意味著當 x∈Ker(T), 對於每個 i
0=yi=n∑j=1(Xi⋅Xj)xj=Xi⋅(∑jxjXj).
因為這對每個人都是正確的 i, 它適用於由 Xi ：即， V 本身。因此，當 x∈Ker(T), 給出的向量 ∑jxjXj 在於 V0. 因為方差是非退化的，這意味著 ∑jxjXj=0. 那是， x 描述了之間的線性依賴關係 n 原始隨機變量。
您可以輕鬆檢查此推理鍊是否可逆：
之間的線性依賴關係 Xj 因為向量與內核的元素一一對應 T.
（請記住，該聲明仍然認為 Xj 定義為位置的不斷變化——也就是說，作為 L2(Ω,P)/R ——而不僅僅是隨機變量。）
最後，根據定義，特徵值 T 是任何標量 λ 存在一個非零向量 x 和 T(x)=λx. 什麼時候 λ=0 是一個特徵值，相關特徵向量的空間（顯然）是 T.
概括
**我們已經得到了問題的答案：**隨機變量的線性依賴集，qua元素 L2(Ω,P)/R, 與其協方差矩陣的核一一對應 T. 之所以如此，是因為方差是非退化的二次形式。核也是與零特徵值相關聯的特徵空間（或者當沒有零特徵值時只是零子空間）。
參考
我在很大程度上採用了第四章的符號和一些語言
讓-皮埃爾·塞爾，《算術課程》。 施普林格出版社 1973 年。