暗示獨立性的隨機變量的所有函數的零相關性

隨機變量之間的獨立性 $ X $ 和 $ Y $ 暗示 $ \text{Corr}\left(f(X),g(Y)\right)=0 $ 對於任意函數 $ f(\cdot) $ 和 $ g(\cdot) $ （這是一個相關的線程）。

但是下面的陳述，或類似的陳述（也許定義更嚴格）正確嗎？

如果 $ \text{Corr}\left(f(X),g(Y)\right)=0 $ 對於所有可能的功能 $ f(\cdot) $ 和 $ g(\cdot) $ ， 然後 $ X $ 和 $ Y $ 是獨立的。

使用可測量集的指示函數，如$$ f(x)=\mathbb I_A(x)\quad g(x)=\mathbb I_B(x) $$造成$$ \text{cov}(f(X),g(Y))=\mathbb P(X\in A,Y\in B)-\mathbb P(X\in A)\mathbb P(Y\in B) $$因此意味著獨立。如以下 A. Dembo 概率過程的快照所示，證明指標函數的結果就足夠了。

這是由於這個單調類定理：

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/503835