暗示獨立性的隨機變量的所有函數的零相關性

隨機變量之間的獨立性 X 和 Y 暗示 Corr(f(X),g(Y))=0 對於任意函數 f(⋅) 和 g(⋅) （這是一個相關的線程）。

但是下面的陳述，或類似的陳述（也許定義更嚴格）正確嗎？

如果 Corr(f(X),g(Y))=0 對於所有可能的功能 f(⋅) 和 g(⋅) ， 然後 X 和 Y 是獨立的。

使用可測量集的指示函數，如f(x)=IA(x)g(x)=IB(x)

造成cov(f(X),g(Y))=P(X∈A,Y∈B)−P(X∈A)P(Y∈B)

因此意味著獨立。如以下 A. Dembo 概率過程的快照所示，證明指標函數的結果就足夠了。

這是由於這個單調類定理：

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/503835