量化柯西隨機變量的依賴性

給定兩個柯西隨機變量 θ1∼Cauchy(x(1)0,γ(1)) 和 θ2∼Cauchy(x(2)0,γ(2)) . 那不是獨立的。隨機變量的依賴結構通常可以用它們的協方差或相關係數來量化。然而，這些柯西隨機變量沒有矩。因此，不存在協方差和相關性。

還有其他表示隨機變量相關性的方法嗎？可以用蒙特卡洛估計那些嗎？

僅僅因為它們沒有協方差並不意味著基本 xtΣ−1x 不能使用通常與協方差相關的結構。事實上，多元 ( k 維）柯西可以寫成：

f(x;μ,Σ,k)=Γ(1+k2)Γ(12)πk2|Σ|12[1+(x−μ)TΣ−1(x−μ)]1+k2

我從維基百科頁面中提取的。這只是一個多元學生- t 具有一個自由度的分佈。

出於發展直覺的目的，我將只使用歸一化的非對角線元素 Σ 就好像它們是相關性一樣，即使它們不是。它們以與相關性非常相似的方式反映變量之間線性關係的強度； Σ 必須是正定對稱的；如果 Σ 是對角線的，變量是獨立的，等等。

參數的最大似然估計可以使用 EM 算法完成，在這種情況下很容易實現。似然函數的對數為：

L(μ,Σ)=−n2|Σ|−k+12n∑i=1log(1+si)

在哪裡 si=(xi−μ)TΣ−1(xi−μ) . 微分導致以下簡單表達式：

μ=∑wixi/∑wi

Σ=1n∑wi(xi−μ)(xi−μ)T

wi=(1+k)/(1+si)

EM 算法只是迭代這三個表達式，在每一步替換所有參數的最新估計。

有關這方面的更多信息，請參閱多元 t 分佈的估計方法，Nadarajah 和 Kotz，2008。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/386036