為什麼協方差矩陣的反演會在隨機變量之間產生偏相關？

我聽說隨機變量之間的偏相關可以通過反轉協方差矩陣並從這樣的結果精度矩陣中獲取適當的單元格來找到（這個事實在http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_correlation中提到，但沒有證明） .

為什麼會這樣？

當一個多元隨機變量有一個非退化協方差矩陣, 的所有實數線性組合的集合形成一個具有基的維實向量空間和由下式給出的非退化內積

它關於這個內積的雙重基礎，, 由關係唯一定義

克羅內克三角洲（等於什麼時候和否則）。

對偶基在這裡很重要，因為和獲得為部分之間的相關性在將其投影到由所有其他向量跨越的空間之後留下的（我們簡單地稱它為“殘差”，) 和可比部分, 其殘差. 然而是一個與所有向量正交的向量，除了並具有正內積何處必須是某個非負倍數, 同樣對於. 因此讓我們寫

對於正實數和.

偏相關是殘差的歸一化點積，通過重新縮放不會改變：

（在任何一種情況下，只要殘差正交，無論它們是否非零，偏相關都將為零。）

我們需要找到對偶基元素的內積。 為此，在原基的基礎上擴展對偶基元素:

然後根據定義

在矩陣表示法中單位矩陣和基變矩陣，這表明

那是，，這正是維基百科文章所斷言的。先前的偏相關公式給出

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/140080