為什麼自然三次樣條的基函數按原樣表示？(ESL)
我正在使用 ESL ( http://www-stat.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/download.html )進行一些自學，我來到了 5.2.1，關於自然三次平滑樣條曲線的部分和我有概念問題。
上一節給出了具有結點的線性樣條曲線的基礎和作為
經過一番思考，這對我來說很直觀。在第一個結的左邊，你有一行表格，並且當線通過它仍然是一條具有相同形式的線，但現在的係數是，在第二個結之後，係數為. 我也很清楚如何在兩條線具有相等的值，因此它們相遇。到現在為止還挺好。
當公式擴展到公式（5.3）中的三次樣條時，我無法在我的腦海中有效地看到它，但我可以接受對形式的三次多項式的類似擴展
現在我們只是結合多項式中的第三項，首先， 然後, 最後.
公式（5.4）是我遇到麻煩的地方。它描述了基礎結與
在哪裡
這種形式是如何產生的？為什麼沒有問題表達式未定義?
首先它不是基礎而是基礎：我們要建立一個基礎自然三次樣條的結。
根據約束，“一個自然三次樣條與結表示為基函數”。基是用元素. 注意 ”" 從未用於定義任何這些元素。[本段在此答案中詳細解釋https://stats.stackexchange.com/q/233286 ]
我深入研究了這個練習是一個基礎自然三次樣條的結。（這是本書的 Ex. 5.4）
結是固定的。使用三次樣條的截斷冪級數表示內部結，我們有這個基礎的線性組合：
目前，有自由度，我們將添加約束來減少它（我們已經知道我們需要最後是基礎中的元素）。
第一部分：係數條件
我們添加約束“函數在邊界節點之外是線性的”。我們要顯示以下四個等式：,,和.
證明：
- 為了,
所以
方程造成對所有人. 所以必然，和.
- 為了, 我們替換和經過我們得到：
所以
方程造成對所有人. 所以必然，和.
第二部分：係數之間的關係
我們得到之間的關係和.
使用方程式和從第一部分開始，我們寫道：
我們可以隔離要得到：
第三部分：基本說明
我們希望獲得書中描述的基礎。我們首先使用：,,從第一部分替換為：
我們有：所以：
我們已移除自由度 （,和）。我們將繼續刪除.
我們想使用第二部分得到的方程，所以我們寫：
我們用第二部分中得到的關係替換：
根據定義，我們推斷：
對於每個,不依賴於，所以我們可以讓並重寫：
我們讓和要得到：
家庭擁有元素並跨越所需的維度空間. 此外，每個元素驗證邊界條件（小練習，通過取導數）。
結論： 是一個基礎自然三次樣條的結。