GLM 歸一化變換的推導
怎麼樣導出指數族的歸一化變換？
更具體地說：我嘗試按照第 3 頁上的泰勒展開草圖，此處為幻燈片 1，但有幾個問題。和來自指數族，變換， 和表示cumulant，幻燈片認為：
它仍然是簡單地找到使得上面的計算結果為 0。
- 我的第一個問題是關於算術的：我的泰勒展開式有不同的係數，我無法證明他們已經放棄了許多項。
我可以通過用它們的累積量替換中心時刻來得到類似的東西，但它仍然沒有加起來。 2. 第二個問題：為什麼要分析代替，我們真正關心的數量？
您鏈接到的幻燈片有些混亂，遺漏了步驟並出現了一些拼寫錯誤，但它們最終是正確的。有助於先回答問題 2，然後回答問題 1，最後推導出對稱變換.
問題 2. 我們正在分析因為它是大小樣本的平均值獨立同分佈隨機變量. 這是一個重要的數量，因為對相同的分佈進行抽樣並取平均值在科學中一直存在。我們想知道有多近是真正的意思. 中心極限定理說它會收斂到作為但我們想知道方差和偏度.
問題 1. 你的泰勒級數近似不是錯誤的，但我們需要小心跟踪對比和權力得出與幻燈片相同的結論。我們將從定義開始和中心時刻並推導出公式：
現在，核心時刻：
最後一步緊隨其後， 和. 這可能不是最簡單的推導, 但這是我們需要做的相同的過程來找到和，我們分解總和的乘積併計算具有不同變量冪的項數。在上述情況下，有具有以下形式的術語和形式條款.
接下來我們展開在泰勒級數中，你有：
通過更多的努力，您可以證明其餘的條款是. 最後，由於, （與)，我們再次進行類似的計算：
我們只對導致訂單的條款感興趣，並且通過額外的工作，您可以證明您不需要這些條款““ 或者 ”“在獲得第三次權力之前，因為它們只會導致秩序. 所以，簡化，我們得到
我省略了一些顯然是在這個產品中。你必須說服自己這些條款和是也是。然而，
然後將期望分佈在我們的方程上， 我們有
至此推導完畢. 現在，最後，我們將推導出對稱變換.
對於這種轉變，重要的是來自指數族分佈，特別是自然指數族（或已轉換為該分佈），形式為
在這種情況下，分佈的累積量由下式給出. 所以,， 和. 我們可以寫參數作為一個函數只是取反， 寫作. 然後
接下來我們可以將方差寫成, 並調用此函數：
然後
所以作為一個函數,.
現在，對於對稱變換，我們希望減少通過製造以便是. 因此，我們要
將我們的表達式替換為和作為函數， 我們有：
所以， 導致.
這個微分方程的一個解是：
,
所以，，對於任何常數，. 這給了我們對稱變換， 在哪裡是作為自然指數族中均值函數的方差。