截斷數據的似然函數
我在理解截斷數據可能性的概念和推導時遇到了一些麻煩。
例如，如果我想根據分佈中的樣本找到似然函數，但在從分佈中抽取樣本時，我觀察到截斷值（其中有，即任何被記錄為):
其中的數量值是. 那麼，可能性應該由下式給出：
我非常感謝解釋/證明為什麼會這樣，重要的是為什麼第二個因素是這樣的。如果可能的話，直觀地和數學地進行。首先十分感謝。
你所描述的需要特殊處理，不是我們通常所說的“截斷隨機變量”——而我們通常的意思是隨機變量不在截斷支持範圍之外，也就是說沒有概率質量集中在截斷點。對比案例：
A) 截斷 rv 的“通常”含義
對於我們截斷其支持的任何分佈，我們必須“糾正”它的密度，以便當在截斷支持上集成時它集成為一。如果變量在,, 然後 (pdf, cdf)
由於 LHS 是截斷支持的積分，我們看到截斷 rv 的密度，稱之為， 一定是
以便它整合到統一. 上述表達式中的中間項使我們（正確地）將這種情況視為一種條件反射形式——但不是在另一個隨機變量上，而是在 rv 本身可以取的可能值上。這裡是一個集合的聯合密度/似然函數截斷的 iid rv 將是像往常一樣，乘以上述密度。 B）概率質量濃度
在這裡，這就是您在問題中所描述的，情況有所不同。重點 集中所有對應於變量支持度的概率質量高於. 這會在密度中產生一個不連續點，並使其具有兩個分支
非正式地，第二個是“像一個離散的 rv”，其中概率質量函數中的每個點都代表實際概率。現在假設我們有這樣的獨立同分佈隨機變量，我們想要形成它們的聯合密度/似然函數。在查看實際樣本之前，我們應該選擇哪個分支？我們不能做出那個決定，所以我們必須以某種方式將兩者都包括在內。為此，我們需要使用指標函數：表示取值的指標函數什麼時候， 和否則。這樣一個 rv 的密度可以寫成
因此，聯合密度函數這樣的獨立同分佈變量是
現在，以上被視為似然函數，實際樣本由這些的實現組成隨機變量開始發揮作用。在這個樣本中，一些觀察到的實現將低於閾值，有的相等。表示樣本中實現的數量等於， 和其他的，. 這是立即的，對於實現，將保留在可能性中的密度的相應部分將是部分，而對於實現，另一部分。然後