漸近正態變量的平方怎麼可能也是漸近正態的？
Delta 方法指出，給定
√n(Xn−μ)d→N(0,1)
然後
√n(g(Xn)−g(μ))d→N(0,g′(μ))
我很驚訝這可能是真的。
作為反例，考慮一系列隨機變量 Xn 其中所有元素 X 是正態分佈的 N(μ,1/√n) . 這意味著 √n(Xn−μ)d→N(0,1) ，根據 Delta 方法的要求。
和 g(X)=X2 , 序列中的每個元素 g(Xn) 是正態的平方，因此應該具有卡方分佈。順序怎麼可能 g(Xn) 正如 Delta 方法所聲稱的那樣變得漸近正常？
即使我使用了具體的例子 g(X)=X2 在這裡，我的困惑適用於任何 g(X) 如 1/X,exp(X) 等。 1/Xn 或者 exp(Xn) 變得漸近正常？
關於 delta 方法的真正含義似乎有些混亂。
這個陳述基本上是關於漸近正態估計量的函數的漸近分佈。在您的示例中，函數定義在 X ，正如您所注意到的，它可以遵循任何分佈！經典的 Delta 方法基本上是關於漸近正態估計量函數漸近分佈的陳述（在樣本均值的情況下，對於任何 X 滿足 CLT 的假設）。所以一個例子可能是 f(Xn)=X2n=(1n∑iXi)2 . Delta 方法說，如果 Xn 服從均值的正態分佈 θ ， 然後 f(Xn) 也服從均值的正態分佈 f(θ) .
明確回答您的情況 g(Xn)=X2n ，重點是 g(Xn) 不是卡方。假設我們畫 Xi iid 來自某個分佈，並假設 Var(Xi)=1 . 讓我們考慮一下序列 g(Xn)n ， 在哪裡 g(Xn)=X2n=(1n∑iXi)2 . 根據 CLT，我們有 √n(Xn−μ)d→N(0,1) （或者，在您的帖子中，您只是自動獲得該發行版，而無需訴諸 CLT）。但 X2n 不是卡方，因為 Xn 不標準正常。反而， √n(Xn−μ) 是標準正態（通過假設分佈 Xn 或由 CLT），因此我們有 (√n(Xn−μ))2d→χ2
但是您對分發的任何內容都不感興趣。您對分佈感興趣 X2n . 為了探索，我們可以考慮一下分佈 X2n . 那麼如果 Z∼N(μ,σ2) ， 然後 Z2σ2 是具有一個自由度和非中心參數的縮放非中心卡方分佈 λ=(μσ)2 . 但是在您的情況下（根據您的假設或通過 CLT），我們有 σ2=1/n ， 所以 nX2n 遵循非中心卡方分佈 λ=μ2n 所以 λ→∞ 作為 n→∞ . 我不會通過證明，但如果你查看我在非中心卡方分佈上鍊接的 wiki 頁面，在相關分佈下，你會注意到 Z 非中樞氣 k 自由度和非中心參數 λ ， 作為 λ→∞ 我們有
Z−(k+λ)√2(k+2λ)d→N(0,1)
在我們的案例中， Z=nX2n,λ=μ2n,k=1 , 所以我們有 n 走向無窮大，我們有 $$ \frac{nX_n^2 - (1+\mu^2n)}{\sqrt{2(1+2\mu^2n)}} = \frac{n(X_n^2 - \mu^2)
- 1}{\sqrt{2+4\mu^2n}} \xrightarrow{d} N(0,1) $$
我不會是正式的，但因為 n 變得任意大，很明顯
n(X2n−μ2)−1√2+4μ2n≈n(X2n−μ2)2μ√n=12μ√n(X2n−μ2)d→N(0,1)
並使用普通屬性，因此我們有 √n(X2n−μ2)d→N(0,4μ2)
看起來還不錯！Delta又告訴了我們什麼？好吧，通過 Delta，我們應該擁有它 g(θ)=θ2 , √n(X2n−μ2)d→N(0,σ2g′(θ)2)=N(0,(2θ)2)=N(0,4μ2)
甜的！但是所有這些步驟都是一種痛苦。幸運的是，delta 方法的單變量證明只是使用一階泰勒展開來近似所有這些，就像在Delta 的 wiki 頁面中一樣，它只是在那之後的幾個步驟。從那個證明中，你可以看到你真正需要的只是估計 θ 漸近正態並且 f′(θ) 是明確定義且非零的。在它為零的情況下，您可以嘗試進一步進行泰勒展開，因此您仍然可以恢復漸近分佈。