如何找到概率密度函數的模式？
受我的另一個問題的啟發，我想問一下如何找到函數的概率密度函數 (PDF) 的模式?
是否有任何“食譜”程序？顯然，這項任務比起初看起來要困難得多。
說“模式”意味著分佈只有一個。一般來說，一個分佈可能有許多模式，或者（可以說）沒有。
如果有不止一種模式，您需要指定是想要所有模式還是只想要全局模式（如果只有一種）。
假設我們將自己限制為單峰分佈*，因此我們可以說“the”模式，它們的發現方式與更普遍地尋找函數的最大值相同。
*請注意，頁面說“因為術語“模式”有多種含義，術語“單峰”也是如此，並提供了幾種模式的定義——它可以改變什麼，確切地說，算作模式，無論是 0 1 還是更多——並且還改變了識別它們的策略。特別注意開頭段落中單峰性的“更一般”的措辭“單峰性意味著只有一個最高值，以某種方式定義”
該頁面上提供的一個定義是：
連續概率分佈的模式是概率密度函數 (pdf) 達到其最大值的值
因此，給定模式的特定定義，您會發現它就像在更一般地處理函數時會發現“最高值”的特定定義一樣（假設在該定義下分佈是單峰的）。
取決於具體情況，數學中有多種識別此類事物的策略。請參閱關於最大值和最小值的維基百科頁面的“查找功能最大值和最小值”部分，其中給出了簡要討論。
例如，如果事情足夠好——假設我們正在處理一個連續的隨機變量，其中密度函數具有連續的一階導數——你可能會繼續嘗試找到密度函數的導數為零的位置，然後檢查它是哪種類型的臨界點（最大、最小、水平拐點）。如果恰好有一個這樣的點是局部最大值，那麼它應該是單峰分佈的模式。
然而，一般情況下，事情會更複雜（例如，眾數可能不是臨界點），需要更廣泛的尋找函數最大值的策略。
有時，在代數上找到導數為零的位置可能很困難或至少很麻煩，但仍有可能以其他方式識別最大值。例如，在識別單峰分佈的模式時可能會調用對稱性考慮。或者可以在計算機上調用某種形式的數值算法，以數值方式找到一種模式。
以下是一些說明您需要檢查的典型事情的案例——即使函數是單峰的並且至少是分段連續的。
因此，例如，我們必須檢查端點（中心圖）、導數改變符號的點（但可能不為零；第一張圖）和不連續點（第三張圖）。
在某些情況下，事情可能沒有這三個那麼整潔；您必須嘗試了解您正在處理的特定功能的特徵。
我沒有談到多變量的情況，即使函數非常“好”，只是找到局部最大值可能要復雜得多（例如，這樣做的數值方法在實際意義上可能會失敗，即使它們在邏輯上必須成功最終）。
