如何使用前 k 個（經驗）矩擬合近似 PDF（即：密度估計）？
我有一種情況，我可以估計（第一個）數據集的矩，並想用它來產生密度函數的估計。
我已經遇到過Pearson 分佈，但意識到它僅依賴於前 4 個時刻（對可能的時刻組合有一些限制）。
我也明白，當不使用更多假設時，任何有限的矩集都不足以“確定”特定的分佈。但是，我仍然想要更通用的分佈類別（除了 Pearson 分佈系列）。查看其他問題，我找不到這樣的分佈（請參閱：here、here、here、here、here和here）。
是否有一些（“簡單”）廣義分佈族可以為任何一組定義時刻？（可能是一組可以採用標準正態分佈的變換並對其進行變換，直到它與所有一組時刻）
（我不在乎我們是否假設另一個時刻是否為0）
謝謝。
ps：我會很高興有一個擴展的例子。最好帶有 R 代碼示例。
方法一：高階皮爾遜系統
按照慣例，Pearson 系統被視為解決方案系列到微分方程：
其中四個 Pearson 參數可以用總體的前四個矩來表示。
而不是將皮爾遜系統基於二次，可以考慮使用高階多項式作為基石。因此，例如，可以考慮基於三次多項式的 Pearson 式系統。這將是解決方案系列到微分方程：
這產生了解決方案：
前段時間我為了好玩而解決了這個問題（與 OP 有相同的思路）：推導和解決方案在我們書的第 5 章中給出；如果有興趣，可以在這裡免費下載：
http://www.mathstatica.com/book/bookcontents.html
請注意，雖然二階（二次）皮爾遜族可以用前 4 個矩表示，但三階（三次）皮爾遜式族需要前 6 個矩。
方法 2：Gram-Charlier 展開式
Gram-Charlier 展開式也在同一章第 5 章（參見第 5.4 節）中進行了討論……並且還允許構建一個擬合密度，基於任意大時刻。正如 OP 所建議的那樣，Gram-Charlier 展開將擬合的 pdf 表示為標準正態 pdf 的一系列導數的函數，稱為 Hermite 多項式。Gram-Charlier 係數被求解為種群矩的函數……並且擴展越大，所需的矩越多。您可能還希望查看相關的御劍擴展。
人口時刻或樣本時刻？
對於 Pearson 式系統：如果總體的矩是已知的，那麼使用更高的矩應該明確地產生更好的擬合。然而，如果觀察到的數據是從總體中抽取的隨機樣本，則需要權衡：高階多項式意味著需要高階矩，而後者的估計可能不可靠（具有高方差），除非樣本量“大”。換句話說，給定樣本數據，使用更高的矩進行擬合可能會變得“不穩定”並產生較差的結果。Gram-Charlier 展開式也是如此：添加一個額外的項實際上會產生更差的擬合，因此需要注意。
