Density-Function
如果我知道我估計的密度關於 0 對稱，如何在我的核密度估計器中施加這個限制？
假設我有興趣估計未知的平滑密度 $ X $ 表示為 $ f(\cdot) $ 使用數據 $ {X_i}_{i=1}^{n} $ . 假設我也知道 $ f(\cdot) $ 在這個意義上關於 0 是對稱的 $ f(-x)=f(x) $ 對於任何 $ x $ 在支持。我的問題是
1.如何在通常定義為的核密度估計器中施加或合併這種對稱性限制
$ \widehat{f}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}k(\frac{X_i-x}{h}) $ ， 在哪裡 $ k(\cdot) $ 是核函數。
2.對稱限制核密度估計器如何改進上面定義的樸素核估計器？
直觀地說，對稱受限的核密度估計器應該更好，因為它使用了更多信息，但我不知道如何展示或量化這種改進。例如，它收斂得更快嗎？
施加限制的一種方法是僅反映關於零的數據，因此
$$ \hat f(x) = \frac{1}{2nh}\sum_i k\left(\frac{X_i-x}{h} \right)+k\left(\frac{-X_i-x}{h} \right) $$
如果您使用與普通內核估計器相同的帶寬，您會期望誤差的方差分量將減半，而偏差分量不會改變。大概你可以（原則上）得到一個更小的 $ h $ 和更小的偏差，但更少的方差減少。你不會得到一個改進的收斂速度，只是一個恆定的因素。
This paper 實際上有詳細信息，包括對稱中心何時已知（您的情況）和何時未知。如果它是未知的，你需要估計它，你必須小心你的估計器不會太糟糕。該論文表明（對於足夠大 $ n $ 並且在關於平滑度的弱假設下）即使必須估計對稱中心，您也總能得到改進。