如果我知道我估計的密度關於 0 對稱，如何在我的核密度估計器中施加這個限制？

假設我有興趣估計未知的平滑密度 X 表示為 f(⋅) 使用數據 Xini=1 . 假設我也知道 f(⋅) 在這個意義上關於 0 是對稱的 f(−x)=f(x) 對於任何 x 在支持。我的問題是

1.如何在通常定義為的核密度估計器中施加或合併這種對稱性限制

ˆf(x)=1nh∑ni=1k(Xi−xh) ， 在哪裡 k(⋅) 是核函數。

2.對稱限制核密度估計器如何改進上面定義的樸素核估計器？

直觀地說，對稱受限的核密度估計器應該更好，因為它使用了更多信息，但我不知道如何展示或量化這種改進。例如，它收斂得更快嗎？

施加限制的一種方法是僅反映關於零的數據，因此

ˆf(x)=12nh∑ik(Xi−xh)+k(−Xi−xh)

如果您使用與普通內核估計器相同的帶寬，您會期望誤差的方差分量將減半，而偏差分量不會改變。大概你可以（原則上）得到一個更小的 h 和更小的偏差，但更少的方差減少。你不會得到一個改進的收斂速度，只是一個恆定的因素。

This paper 實際上有詳細信息，包括對稱中心何時已知（您的情況）和何時未知。如果它是未知的，你需要估計它，你必須小心你的估計器不會太糟糕。該論文表明（對於足夠大 n 並且在關於平滑度的弱假設下）即使必須估計對稱中心，您也總能得到改進。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/482036