兩個分佈之間的 Hellinger 距離是否存在無偏估計？

在人們觀察的環境中從具有密度的分佈中分佈，我想知道是否存在一個無偏估計量（基於’s) 到另一個密度分佈的 Hellinger 距離，即

沒有無偏估計量或存在於來自任何合理廣泛的非參數類分佈。

我們可以用漂亮簡單的論證來證明這一點

比克爾和萊曼 (1969)。凸族中的無偏估計。數理統計年鑑，40 (5) 1523–1535。（歐幾里得項目）

修復一些發行版,， 和, 具有相應的密度,， 和. 讓表示， 然後讓做一些估計基於獨立同居樣本.

假設對任何形式分佈的樣本都是無偏的

但是之後

以便必須是多項式最多學位. 現在，讓我們專門研究一個合理的案例，並證明相應的不是多項式。

讓是一些具有恆定密度的分佈：對所有人. （它在該範圍之外的行為無關緊要。）讓是一些僅支持的發行版， 和某些發行版僅支持.

現在

在哪裡同樣對於. 注意,對於任何分佈,有密度的。 不是任何有限次數的多項式。因此，沒有估計器可以不偏不倚在所有分佈上有有限多個樣本。

同樣，因為也不是多項式，沒有估計量這在所有分佈上都是無偏的有有限多個樣本。

這幾乎排除了所有合理的非參數分佈類別，除了那些密度在以下範圍內的分佈（非參數分析有時會做出假設）。您也可以通過使密度恆定或其他方式以類似的論點殺死這些類。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/29616