是否存在 MAD 統計量具有封閉形式密度的非平凡設置？
獨立同分佈樣本的MAD 統計量 $ (x_1,\ldots,x_n) $ 定義為與中位數的絕對偏差的中位數： $$ \text{mad}(x_1,\ldots,x_n)=\text{med}\left{|x_i-\text{med}(x_1,\ldots,x_n)|;\ i=1,\ldots,n \right},. $$
我想知道是否存在非平凡（連續）分佈 $ X_i $ 是這樣的，分佈 $ \text{mad}(X_1,\ldots,X_n) $ 可以以封閉形式（cdf 或密度）獲得。
下一個未知級別是中位數的聯合密度的推導和大小的 iid 樣本的 MAD 統計量 $ n $ .
對於均勻分佈，MAD 的兩倍 $ 2n-1 $ 樣本的分佈似乎與 $ (n-1)^{th} $ -這些樣本中最小的。
計算可以如下進行 $$ F(m)=(2n-1)! \int_{A_m} dx_1\ldots dx_{2n-1} $$ 在哪裡 $$ \begin{align} A_m = {(x_1,\ldots,x_{2n-1}): \ &0< x_{1}< \cdots < x_{2n-1} < 1 \ &\ & , \min(g_1, \ldots, g_n)<m} \end{align} $$ 和 $ g_i = \max(x_{(i+n-1)}-x_{(n)},x_{(n)}-x_{(i)}) $
我猜結果總是 $ F(m)=I_{2m}(n-1,n+1) $ ， 在哪裡 $ I $ 是不完整的 beta 函數，我已經驗證了這一點 $ n=2,3,4,5,6 $ . 如果是這樣，就訂單統計而言的解釋是here，對應的pdf是 $$ f(m)=\frac{2(2n-1)!}{n!(n-2)!}, (2m)^{n-2}(1-2m)^n. $$
我希望有人能夠找到一個簡單的論據來證明這個猜想是正確的。