是否存在 MAD 統計量具有封閉形式密度的非平凡設置？

獨立同分佈樣本的MAD 統計量 (x1,…,xn) 定義為與中位數的絕對偏差的中位數： \text{mad}(x_1,\ldots,x_n)=\text{med}\left{|x_i-\text{med}(x_1,\ldots,x_n)|;\ i=1,\ldots,n \right},.

我想知道是否存在非平凡（連續）分佈 Xi 是這樣的，分佈 mad(X1,…,Xn) 可以以封閉形式（cdf 或密度）獲得。

下一個未知級別是中位數的聯合密度的推導和大小的 iid 樣本的 MAD 統計量 n .

對於均勻分佈，MAD 的兩倍 2n−1 樣本的分佈似乎與 (n−1)th -這些樣本中最小的。

計算可以如下進行 F(m)=(2n−1)!∫Amdx1…dx2n−1

在哪裡 \begin{align}
A_m = {(x_1,\ldots,x_{2n-1}): \ &0< x_{1}< \cdots < x_{2n-1} < 1 \
&\ &amp; , \min(g_1, \ldots, g_n)<m}
\end{align}

和 gi=max(x(i+n−1)−x(n),x(n)−x(i))

我猜結果總是 F(m)=I2m(n−1,n+1) ， 在哪裡 I 是不完整的 beta 函數，我已經驗證了這一點 n=2,3,4,5,6 . 如果是這樣，就訂單統計而言的解釋是here，對應的pdf是 f(m)=2(2n−1)!n!(n−2)!,(2m)n−2(1−2m)n.

我希望有人能夠找到一個簡單的論據來證明這個猜想是正確的。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/126331