所以這個問題有點混亂，但我會用彩色圖表來彌補這一點！首先是背景，然後是問題。

背景

說你有一個-維多項式分佈，概率相等類別。讓是標準化計數（) 從該分佈中，即：

現在分佈結束支持- 簡單但具有離散步驟。例如，與此發行版具有以下支持（紅點）：

另一個具有類似支持的發行版是維分佈，即單位單純形上的均勻分佈。例如，這裡是從 3 維隨機抽取的：

現在我有了這樣的想法，即來自分佈可以被描述為從一個離散化為離散支持. 我想到的離散化（這似乎運作良好）是將單純形中的每個點“四捨五入”到支持的最近點. 對於 3 維單純形，您會得到以下分區，其中每個彩色區域中的點應“四捨五入”到最近的紅點：

由於狄利克雷分佈是均勻的，因此每個點的最終密度/概率與每個點“四捨五入”的面積/體積成正比。對於二維和三維情況，這些概率是：

（這些概率來自蒙特卡羅模擬）

所以看起來，至少對於 2 維和 3 維，離散化得到的概率分佈在這種特殊的方式是相同的概率分佈. 這是一個標準化的結果分配。我也嘗試過 4 維，它似乎在那里工作。

問題）

所以我的主要問題是：

當以這種特殊方式離散均勻狄利克雷時，與持有更多的尺寸？這種關係是否成立？（我只用蒙特卡洛模擬試過這個……）

此外，我想知道：

• 如果這個關係成立，它是一個已知的結果嗎？我可以為此引用一些資料嗎？
• 如果均勻狄利克雷的這種離散化與多項式沒有這種關係。有沒有類似的結構？

一些背景

我問這個問題的原因是我正在研究非參數 Bootstrap 和貝葉斯 Bootstrap 之間的相似性，然後就出現了這個問題。我還注意到上面 3 維單純形上彩色區域的圖案看起來像（並且應該是）Voronoi 圖。一種方法（我希望）您可以將其視為帕斯卡三角形/Simpex 的序列（http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html）。其中彩色區域的大小在二維情況下遵循帕斯卡三角形的第二行，在三維情況下遵循帕斯卡四面體的第三行，依此類推。這可以解釋與多項分佈的聯繫，但在這裡我真的在深水中……

這兩種分佈對於每個人來說都是不同的.

符號

我將按一個因子重新調整你的單純形, 使格點具有整數坐標。這並沒有改變任何東西，我只是認為它使符號變得不那麼麻煩。

讓成為-單純形，作為點的凸包給出, …,在. 換句話說，這些是所有坐標都是非負數的點，並且坐標總和為.

讓表示格點的集合，即在其中所有坐標都是整數。

如果是一個格點，我們讓表示它的Voronoi 單元，定義為（嚴格）更接近比任何其他點.

我們放了兩個可以放的概率分佈. 一種是多項分佈，其中點有概率. 另一個我們稱之為狄利克雷模型，它分配給每個與體積成正比的概率.

非常非正式的理由

我聲稱多項式模型和 Dirichlet 模型給出了不同的分佈, 每當.

要看到這一點，請考慮這種情況, 和點和. 我聲稱和通過向量的平移是全等的. 這意味著和具有相同的體積，因此和在狄利克雷模型中具有相同的概率。另一方面，在多項式模型中，它們具有不同的概率（和)，因此分佈不可能相等。

事實是和從以下看似合理但不明顯（且有些模糊）的主張得出以下結論：

合理的說法：形狀和大小只受“近鄰”的影響, （即那些點在不同於通過一個看起來像的向量, 其中和可能在其他地方）

不難看出，“直接鄰居”的配置和是相同的，然後得出和是一致的。

以防萬一，我們可以玩同樣的遊戲，用和， 例如。

我不認為這種說法是完全顯而易見的，我也不打算證明它，而是採取稍微不同的策略。但是，我認為這是為什麼分佈不同的更直觀的答案.

嚴謹的證明

拿和如上面的非正式理由。我們只需要證明和是一致的。

給定，我們將定義如下：是點的集合, 為此. （以更容易理解的方式：讓.是最高點和最低點之差的點的集合小於 1。）

我們將證明.

步驟1

宣稱： .

這很容易：假設不在. 讓，並假設（不失一般性）,.自從，我們也知道.

現在讓. 自從和兩者都有非負坐標，所以也是, 並且由此得出， 所以. 另一方面，. 因此，至少是一樣接近至於， 所以. 這表明（通過補充）.

第2步

索賠：是成對不相交的。

假設不然。讓和是不同的點 ， 然後讓. 自從和是不同的，兩者都在, 必須有一個索引在哪裡, 還有一個. 不失一般性，我們假設， 和. 重新排列和相加，我們得到.

現在考慮數字和. 從事實來看， 我們有. 相似地，暗示. 將這些加在一起，我們得到，我們有矛盾。

第 3 步

我們已經證明，並且那個是不相交的。這覆蓋直到一組測度為零，它遵循（最多一組測量零）。[自從和都是開放的，我們實際上有確切地說，但這不是必需的。]

現在，我們幾乎完成了。考慮要點和. 很容易看出和是一致的並且是彼此的翻譯：它們可能不同的唯一方法是，如果邊界（除了上面的臉和兩者都撒謊）會“切斷”或者但不是另一個。但是要達到這樣的邊界的一部分，我們需要改變一個坐標或者至少 1，這足以保證將我們帶出和反正。因此，即使從有利位置看起來確實不同和，差異太遠，無法通過和， 因此和是一致的。

隨之而來的是和具有相同的體積，因此 Dirichlet 模型為它們分配相同的概率，即使它們在多項式模型中具有不同的概率。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/145705