考慮一個二次可微對稱分佈 $ \mathcal{F}_X $ . 現在考慮第二個兩次可微分佈 $ \mathcal{F}_Z $ rigth 在某種意義上是傾斜的：

$$ (1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z. $$

在哪裡 $ \preceq_c $ 是 van Zwet [0] 的凸排序，因此 $ (1) $ 相當於：

$$ (2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$} $$

現在考慮第三個二次可微分佈 $ \mathcal{F}_Y $ 滿足：

$$ (3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z. $$

我的問題是：我們總能找到一個分佈嗎 $ \mathcal{F}_Y $ 和對稱分佈 $ \mathcal{F}_X $ 重寫任何 $ \mathcal{F}_Z $ （所有三個定義如上）在組成方面 $ \mathcal{F}_X $ 和 $ \mathcal{F}_Y $ 作為：

$$ F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z) $$

或不？

編輯：

例如，如果 $ \mathcal{F}_X $ 是具有形狀參數 3.602349 的 Weibull（因此它是對稱的）和 $ \mathcal{F}_Z $ 是形狀參數為 3/2 的 Weibull 分佈（因此它是右偏的），我得到

$$ \max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0 $$

通過設置 $ \mathcal{F}_Y $ 作為形狀參數為 2.324553 的 Weibull 分佈。請注意，所有三個分佈都滿足：

$$ \mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z, $$ 按要求。我想知道這是否是真的（在規定的條件下）。

• [0] 範茲韋特，WR (1979)。平均值、中位數、模式 II (1979)。統計Neerlandica。第 33 卷，第 1 期，第 1–5 頁。

不！

Tukey 提供了一個簡單的反例 $ g $ 分佈（特殊情況 $ h=0 $ 圖基的 $ g $ 和 $ h $ 分配）。

例如，讓 $ \mathcal{F}_X $ 成為 Tukey $ g $ 帶參數 $ g_X=0 $ 和 $ \mathcal{F}_Z $ 成為 Tukey $ g $ 帶參數 $ g_Z>0 $ 和 $ \mathcal{F}_Y $ 一隻土雞 $ g $ 分佈 $ g_Y\leq g_Z $ . 自從 $ h=0 $ ，這三個分佈滿足：

$$ \mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z. $$

（第一個來自Tukey的定義 $ g $ 這是對稱的，如果 $ g=0 $ ，下一個來自 [0]，定理 2.1(i))。

例如，對於 $ g_Z=0.5 $ ，我們有：

$$ \min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0 $$

（出於某種原因，最小值似乎總是接近 $ g_Y\approx g_Z/2 $ ）。

• [0] HL MacGillivray g-h 和 Johnson 系列的形狀屬性。通訊。Statist.-Theory Methods, 21 (5) (1992), pp. 1233–1250

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編輯：

在 Weibull 的案例中，這種說法是正確的：

讓 $ \mathcal{F}_Z $ 是具有形狀參數的 Weibull 分佈 $ w_Z $ （尺度參數不影響凸排序，因此我們可以將其設置為 1 而不失一般性）。同樣地 $ \mathcal{F}_Y $ , $ \mathcal{F}_X $ 和 $ w_Y $ 和 $ w_X $ .

首先請注意，任何三個 Weibull 分佈總是可以在 [0] 的意義上進行排序。

接下來，請注意： $$ \mathcal{F}X=\mathcal{F}{-X}\implies w_X=3.602349. $$

現在，對於威布爾：

$$ F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y}, $$

以便

$$ F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}), $$

自從

$$ F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}). $$

因此，索賠總是可以通過設置來滿足 $ w_Y=\sqrt{w_Z/w_X} $ .

• [0] 範茲韋特，WR (1979)。平均值、中位數、模式 II (1979)。統計Neerlandica。第 33 卷，第 1 期，第 1–5 頁。
• [1] 格羅內維爾德，RA (1985)。weibull 家族的偏度。統計Neerlandica。第 40 卷，第 3 期，第 135-140 頁。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/172882