考慮一個二次可微對稱分佈 FX . 現在考慮第二個兩次可微分佈 FZ rigth 在某種意義上是傾斜的：

(1)FX⪯cFZ.

在哪裡 ⪯c 是 van Zwet [0] 的凸排序，因此 (1) 相當於：

(2)F−1ZFX(x) is convex ∀x∈R.

現在考慮第三個二次可微分佈 FY 滿足：

(3)FY⪯cFZ.

我的問題是：我們總能找到一個分佈嗎 FY 和對稱分佈 FX 重寫任何 FZ （所有三個定義如上）在組成方面 FX 和 FY 作為：

FZ(z)=FYF−1XFY(z)

或不？

編輯：

例如，如果 FX 是具有形狀參數 3.602349 的 Weibull（因此它是對稱的）和 FZ 是形狀參數為 3/2 的 Weibull 分佈（因此它是右偏的），我得到

maxz|FZ(z)−FYF−1XFY(z)|≈0

通過設置 FY 作為形狀參數為 2.324553 的 Weibull 分佈。請注意，所有三個分佈都滿足：

F−X=FX⪯cFY⪯cFZ,

按要求。我想知道這是否是真的（在規定的條件下）。

• [0] 範茲韋特，WR (1979)。平均值、中位數、模式 II (1979)。統計Neerlandica。第 33 卷，第 1 期，第 1–5 頁。

不！

Tukey 提供了一個簡單的反例 g 分佈（特殊情況 h=0 圖基的 g 和 h 分配）。

例如，讓 FX 成為 Tukey g 帶參數 gX=0 和 FZ 成為 Tukey g 帶參數 gZ>0 和 FY 一隻土雞 g 分佈 gY≤gZ . 自從 h=0 ，這三個分佈滿足：

F−X=FX⪯cFY⪯cFZ.

（第一個來自Tukey的定義 g 這是對稱的，如果 g=0 ，下一個來自 [0]，定理 2.1(i))。

例如，對於 gZ=0.5 ，我們有：

mingY≤gZmaxz|FZ(z)−FYF−1XFY(z)|≈0.005>0

（出於某種原因，最小值似乎總是接近 gY≈gZ/2 ）。

• [0] HL MacGillivray g-h 和 Johnson 系列的形狀屬性。通訊。Statist.-Theory Methods, 21 (5) (1992), pp. 1233–1250

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編輯：

在 Weibull 的案例中，這種說法是正確的：

讓 FZ 是具有形狀參數的 Weibull 分佈 wZ （尺度參數不影響凸排序，因此我們可以將其設置為 1 而不失一般性）。同樣地 FY , FX 和 wY 和 wX .

首先請注意，任何三個 Weibull 分佈總是可以在 [0] 的意義上進行排序。

接下來，請注意： $$ \mathcal{F}X=\mathcal{F}{-X}\implies w_X=3.602349. $$

現在，對於威布爾：

FY(y)=1−exp((−y)wY),;F−1Y(q)=(−ln(1−q))1/wY,

以便

FYF−1XFY(z)=1−exp(−zw2Y/wX),

自從

FZ(z)=1−exp(−zwZ).

因此，索賠總是可以通過設置來滿足 wY=√wZ/wX .

• [0] 範茲韋特，WR (1979)。平均值、中位數、模式 II (1979)。統計Neerlandica。第 33 卷，第 1 期，第 1–5 頁。
• [1] 格羅內維爾德，RA (1985)。weibull 家族的偏度。統計Neerlandica。第 40 卷，第 3 期，第 135-140 頁。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/172882