兩個正態分佈之間的差異分佈

我有兩個正態分佈的概率密度函數：

和

我正在尋找之間分離的概率密度函數和. 我認為這意味著我正在尋找概率密度函數. 那是對的嗎？我怎麼找到那個？

這個問題只能通過假設兩個隨機變量來回答和受這些分佈支配的是獨立的。 這使他們與眾不同正常與平均值和方差. （以下解決方案可以很容易地推廣到任何二元正態分佈.) 因此變量

具有標準正態分佈（即，均值和單位方差為零）和

表達方式

將絕對差展示為具有一個自由度和非中心參數的非中心卡方分佈的平方根的縮放版本. 具有這些參數的非中心卡方分佈具有概率元素

寫作為了之間建立一一對應的關係及其平方根，導致

簡化這個然後重新縮放給出所需的密度，

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**這個結果得到了模擬的支持，**例如這個 100,000 次獨立繪製的直方圖（在代碼中稱為“x”）帶參數. 在它上面繪製了圖表，這與直方圖值完全一致。

此模擬的R代碼如下。

#
# Specify parameters
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mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/186463