指數分佈的隨機變量的指數分佈？

讓 $ X $ 是一個指數分佈的隨機變量，即具有密度函數 $ f(x)=\lambda e^{-\lambda x} $ 為了 $ x\ge 0 $ ( $ \lambda>0 $ ) 和 cdf $ F_X(x)=1 - e^{-\lambda x} $ . 什麼是分佈 $ Y=\exp(X) $ ?

（注意類似的問題Distribution of the index of an index random variable，但這涉及一個複數參數）。

**來自帕累托分佈的樣本。**如果 $ Y\sim\mathsf{Exp}(\mathrm{rate}=\lambda), $ 然後 $ X = x_m\exp(Y) $ 具有密度函數的帕累托分佈 $ f_X(x) = \frac{\lambda x_m^\lambda}{x^{\lambda+1}} $ 和 CDF $ F_X(x) = 1-\left(\frac{x_m}{x}\right)^\lambda, $ 為了 $ x\ge x_m > 0. $ 最小值 $ x_m > 0 $ 是密度積分存在的必要條件。

考慮隨機y樣本 $ n = 1000 $ 觀察來自 $ \mathsf{Exp}(\mathrm{rate}=\lambda=5) $ 以及y由上述變換產生的帕累托樣本。

   set.seed(1128)
   x.m = 1;  lam = 5
   y = rexp(1000, lam)
   summary(y)

        Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
   0.0001314 0.0519039 0.1298572 0.1946130 0.2743406 1.9046195 

   x = x.m*exp(y)
   summary(x)

     Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    1.000   1.053   1.139   1.245   1.316   6.717 

下面是 Pareto 樣本的經驗 CDF (ECDF)x以及從中採樣的分佈的 CDF（橙色虛線）。沿水平軸的刻度線顯示 的各個值x。

   plot(ecdf(x), main="ECDF of Pareto Sample")
    curve(1 - (x.m/x)^lam, add=T, 1, 4, 
          lwd=3, col="orange", lty="dotted")
    rug(x)

*參考：*請參閱帕累托分佈的維基百科頁面，在與指數關係的標題下。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/554034