mean=mode 是否意味著對稱分佈？
我知道這個問題已經被問到了 mean=median 的情況，但是我沒有找到任何與 mean=mode 相關的東西。
如果眾數等於均值，我是否總能得出這是一個對稱分佈的結論？我會被迫也知道這種方式的中位數嗎？
均值 = 眾數並不意味著對稱。
即使均值 = 中值 = 眾數，您仍然不一定具有對稱性。
並且期待潛在的後續行動——即使 mean=median=mode並且第三個中心矩為零（因此矩偏度為 0），您仍然不一定具有對稱性。
……但有一個後續行動。NickT 在評論中詢問是否讓所有奇數時刻為零就足以要求對稱性。答案是否定的。[見最後的討論。]
對稱性暗示了這些不同的事物（假設相關時刻是有限的），但暗示並沒有相反——儘管許多基本文本清楚地說明了其中一個或多個。
反例構建起來非常簡單。
考慮以下離散分佈：
x -4 0 1 5 P(X=x) 0.2 0.4 0.3 0.1它的均值、中值、眾數和第三中心矩（因此矩偏度）都為 0，但它是不對稱的。
這種例子也可以用純粹的連續分佈來完成。例如，這是一個具有相同屬性的密度：
這是對稱三角形密度（每個範圍為 2）的混合，平均值為 -6、-4、-3、-1、0、1、2、5，混合權重為 0.08、0.08、0.12、0.08、0.28、0.08 , 0.08, 0.20。我現在才做這個的事實——以前從未見過它——表明這些案例的構建是多麼簡單。
[我選擇了三角形混合分量，以使模式在視覺上不會產生歧義——本來可以使用更平滑的分佈。]
這是一個額外的離散示例，用於解決 Hong Ooi 的問題，即這些條件允許您獲得多遠的對稱性。這絕不是一個限制情況，它只是說明製作一個不太對稱的例子很簡單：
x -2 0 1 6 P(X=x) 0.175 0.5 0.32 0.005
在不改變條件的情況下，可以使 0 處的尖峰相對更高或更低；同樣，右側的點可以放置得更遠（概率降低），而不會改變 1 和 -2 處的相對高度（即，當您移動最右邊時，它們的相對概率將保持接近 2:1 的比率關於元素）。
有關對 NickT 問題的答复的更多詳細信息
在現場的許多問題中都解決了所有奇怪的時刻為零的情況。這裡有一個示例（參見圖表），基於此處的詳細信息（參見答案末尾）。這是一個連續的單峰不對稱密度，所有奇數矩均為 0，均值 = 中值 = 眾數。50-50 混合構造的中位數為 0，檢查時眾數為 0——構建示例的實半線上的所有家庭成員的密度從原點的有限值單調遞減, 均值為零，因為所有奇數時刻都為 0。
