計量經濟學文本聲稱分佈收斂意味著時刻收斂

在 Hayashi 的計量經濟學中可以找到以下引理：

引理 2.1（分佈收斂和矩收斂）：讓 αsn 成為 s - 第一刻 zn ， 和 limn→∞αsn=αs 在哪裡 αs 是有限的（即實數）。然後：

" zn→dz " ⟹ " αs 是個 s - 第一刻 z 。”

因此，例如，如果在分佈中收斂的隨機變量序列的方差收斂到某個有限數，那麼該數就是極限分佈的方差

據我了解，沒有額外的假設 zn 這可以從上下文中推斷出來。現在考慮由下式定義的一系列隨機變量 zn=n1[0,1n] 在統一概率測度上 [0,1] .

然後 zn→d0 ， 但 (∀n) E(zn)=1→1≠0=E(0) .

如果我正確閱讀了上述引理， zn 提供了一個反例。

問題：引理是假的嗎？是否有相關結果指定分佈收斂意味著瞬間收斂的一般條件？

一個充分的附加條件是一致可積性，即

然後，一個人得到那個是可積的並且. 啟發式地，這個條件排除了對積分（期望）漸近仍然存在“極端”貢獻。

現在，這確實正是你的反例中發生的事情，因為 - 不用介意概率消失 -可能取發散值. 更準確地說，對所有人. 因此，不會一致地收斂到零，因為我們找不到這樣對所有人， 全部和所有.

均勻可積的充分條件是

對於一些. 雖然不滿足充分條件當然不能證明缺乏一致可積性，但更直接的是看到這個條件不滿足，因為

顯然沒有有限的超過.

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/236460