計量經濟學文本聲稱分佈收斂意味著時刻收斂
在 Hayashi 的計量經濟學中可以找到以下引理：
引理 2.1（分佈收斂和矩收斂）：讓 $ \alpha_{sn} $ 成為 $ s $ - 第一刻 $ z_{n} $ ， 和 $ \lim_{n\to\infty}\alpha_{sn}=\alpha_{s} $ 在哪裡 $ \alpha_{s} $ 是有限的（即實數）。然後：
" $ z_{n} \to_{d} z $ " $ \implies $ " $ \alpha_{s} $ 是個 $ s $ - 第一刻 $ z $ 。”
因此，例如，如果在分佈中收斂的隨機變量序列的方差收斂到某個有限數，那麼該數就是極限分佈的方差
據我了解，沒有額外的假設 $ z_{n} $ 這可以從上下文中推斷出來。現在考慮由下式定義的一系列隨機變量 $ z_{n} = n\mathbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]} $ 在統一概率測度上 $ [0,1] $ .
然後 $ z_{n} \to_{d} 0 $ ， 但 $ (\forall n)\ E(z_{n}) = 1 \to 1 \neq 0 = E(0) $ .
如果我正確閱讀了上述引理， $ {z_n} $ 提供了一個反例。
問題：引理是假的嗎？是否有相關結果指定分佈收斂意味著瞬間收斂的一般條件？
一個充分的附加條件是一致可積性，即
然後，一個人得到那個是可積的並且. 啟發式地，這個條件排除了對積分（期望）漸近仍然存在“極端”貢獻。
現在，這確實正是你的反例中發生的事情，因為 - 不用介意概率消失 -可能取發散值. 更準確地說，對所有人. 因此，不會一致地收斂到零，因為我們找不到這樣對所有人， 全部和所有.
均勻可積的充分條件是
對於一些. 雖然不滿足充分條件當然不能證明缺乏一致可積性，但更直接的是看到這個條件不滿足，因為
顯然沒有有限的超過.