幫我理解分位數（逆 CDF）函數
我正在閱讀分位數函數，但我不清楚。您能否提供比下面提供的更直觀的解釋？
由於 cdf是一個單調遞增的函數，它有一個逆函數；讓我們用. 如果是的 cdf， 然後是的價值這樣; 這被稱為分位數. 價值是分佈的中位數，概率質量的一半在左邊，一半在右邊。價值 和是下四分位數和上四分位數。
所有這一切乍聽之下可能很複雜，但它本質上是關於一些非常簡單的事情。
通過累積分佈函數，我們表示返回概率的函數 $ X $ 小於或等於某個值 $ x $ ,
$$ \Pr(X \le x) = F(x). $$
此函數作為輸入 $ x $ 並從 $ [0, 1] $ 間隔（概率）——讓我們將它們表示為 $ p $ . 累積分佈函數（或分位數函數）的倒數告訴你什麼 $ x $ 將使 $ F(x) $ 返回一些值 $ p $ ,
$$ F^{-1}(p) = x. $$
下圖以正態累積分佈函數（及其反函數）為例說明了這一點。
例子
作為一個簡單的示例，您可以採用標準的Gumbel分佈。其累積分佈函數為
$$ F(x) = e^{-e^{-x}} $$
並且可以很容易地反轉：回憶自然對數函數是指數函數的反函數，因此很明顯， Gumbel 分佈的分位數函數是
$$ F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p)) $$
如您所見，分位數函數根據其替代名稱“反轉”累積分佈函數的行為。
廣義逆分佈函數
不是每個函數都有逆函數。這就是為什麼您引用的引用說“單調遞增函數”的原因。回想一下函數的定義，它必須為每個輸入值準確地分配一個輸出。連續隨機變量的累積分佈函數滿足這一性質，因為它們是單調遞增的。對於離散隨機變量，累積分佈函數不連續且遞增，因此我們使用需要非遞減的廣義逆分佈函數。更正式地說，廣義逆分佈函數定義為
$$ F^{-1}(p) = \inf \big{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big}. $$
這個定義，翻譯成簡單的英語，說對於給定的概率值 $ p $ ，我們正在尋找一些 $ x $ ，這導致 $ F(x) $ 返回值大於或等於然後 $ p $ ，但由於可能有多個值 $ x $ 滿足這個條件的（例如 $ F(x) \ge 0 $ 對任何人都是正確的 $ x $ )，所以我們取最小的 $ x $ 那些。
沒有逆的函數
一般來說，對於不同的輸入可以返回相同值的函數沒有逆函數，例如密度函數（例如，標準正態密度函數是對稱的，因此它返回相同的值 $ -2 $ 和 $ 2 $ 等等。）。正態分佈是一個有趣的例子還有一個原因——它是不具有封閉逆的累積分佈函數的例子之一。並非每個累積分佈函數都必須具有封閉形式的逆！希望在這種情況下，可以使用數值方法找到倒數。
用例
分位數函數可用於隨機生成，如逆變換方法如何工作？
