如何從兩個標準正態分佈中獲得柯西分佈？
我對感興趣
讓 $ X\sim N(0,1), Y \sim N(0,1) $ 獨立。展示 $ \frac{X}{X+Y} $ 是一個柯西隨機變量。
我的工作：
$ f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi} e^{\frac{-1}{2}(x^2+y^2)}, -\infty<x,y<\infty $ 通過獨立
讓 $ U=\frac{X}{X+Y},V=X+Y $ . （有沒有更好的 $ V $ 選擇這個雙變量變換？）
然後， $ X=UV, Y=V - UV $ . 所以， $ |J|=V $ .
$ f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(uv,v-uv)|J|=\frac{v}{2\pi}e^{\frac{-v^2}{2}(2u^2-2u+1)},-\infty<u<\infty $
$ f_U(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}ve^{\frac{-v^2}{2}(2u^2-2u+1)}dv $ . 讓 $ y=\frac{v^2}{2}(2u^2-2u+1) $ ， 所以 $ dy=v(1+2u^2-2u)dv $ . 然後，
$ f_U(u)=\frac{1}{2\pi(2u^2-2u+1)}\int_0^{\infty}e^{-y}dy=(\pi[(\frac{u-1/2}{2})^2+1])^{-1}, -\infty<u<\infty $ ,
這不完全是柯西分佈。我哪裡搞砸了？更重要的是，您將如何解決這個問題？
**這可以通過最少的計算來完成，**僅依賴於 (a) 簡單代數和 (b) 與統計測試相關的分佈的基本知識。因此，該演示可能具有重要的教學價值——這是一種說它值得研究的奇特方式。
讓 $ Z=X/(X+Y), $ 以便
$$ Z - \frac{1}{2} = \frac{X}{X+Y} - \frac{X/2+Y/2}{X+Y} = \frac{1}{2}\frac{X-Y}{X+Y} = \frac{1}{2}\frac{(X-Y)/\sqrt{2}}{(X+Y)/\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\frac{U}{V} $$
在哪裡$$ (U,V) = \left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}, \frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right). $$因為 $ (U,V) $ 是二元正態變量的線性變換 $ (X,Y), $ 它也是二元正態的，並且計算簡單（除了算術定義外，最終只需要以下事實： $ 1+1=2 $ ) 顯示的方差 $ U $ 和 $ V $ 是團結和 $ U $ 和 $ V $ 是不相關的：也就是說， $ (U,V) $ 也有一個標準的正態分佈。
特別是， $ U $ 和 $ V $ 都是對稱分佈的（大約 $ 0 $ )，暗示 $ U/V $ 具有相同的分佈 $ U/|V|. $ 但 $ |V| = \sqrt{V^2} $ 根據定義，具有 $ \chi(1) $ 分配。自從 $ U $ 和 $ V $ 是獨立的，所以是 $ U $ 和 $ |V|, $ 從哪裡來（也根據定義） $ U/|V| = U/\sqrt{V^2/1} $ 具有一個自由度的學生 t 分佈。
*在沒有積分並且只有最簡單的代數計算之後，*結論是
$ W = 2Z-1 = U/V $ 具有一個自由度的學生 t 分佈。
這只是（標準）柯西分佈的另一個名稱。自從 $ Z = W/2 + 1/2 $ 只是一個重新調整和移動的版本 $ W, $ , $ Z $ 有一個柯西分佈（再次根據定義），QED。
使用的事實摘要
上述分析中使用的每一個事實都令人感興趣且值得了解。
這些是基本定理：
- 二元正態變量的線性變換是二元正態變量。 （這也可以被認為是一個定義。）
- 不相關的二元正態變量是獨立的。
- 協方差是二次形式。 （這也可以是協方差定義的一部分，但這有點不尋常。）
- 當兩個變量獨立時，它們中的每一個（分別）的函數也是獨立的。
這些都是定義：