如何從兩個標準正態分佈中獲得柯西分佈？
我對感興趣
讓 X∼N(0,1),Y∼N(0,1) 獨立。展示 XX+Y 是一個柯西隨機變量。
我的工作：
fX,Y(x,y)=12πe−12(x2+y2),−∞<x,y<∞ 通過獨立
讓 U=XX+Y,V=X+Y . （有沒有更好的 V 選擇這個雙變量變換？）
然後， X=UV,Y=V−UV . 所以， |J|=V .
fU,V(u,v)=fX,Y(uv,v−uv)|J|=v2πe−v22(2u2−2u+1),−∞<u<∞
fU(u)=12π∫∞−∞ve−v22(2u2−2u+1)dv . 讓 y=v22(2u2−2u+1) ， 所以 dy=v(1+2u2−2u)dv . 然後，
fU(u)=12π(2u2−2u+1)∫∞0e−ydy=(π[(u−1/22)2+1])−1,−∞<u<∞ ,
這不完全是柯西分佈。我哪裡搞砸了？更重要的是，您將如何解決這個問題？
**這可以通過最少的計算來完成，**僅依賴於 (a) 簡單代數和 (b) 與統計測試相關的分佈的基本知識。因此，該演示可能具有重要的教學價值——這是一種說它值得研究的奇特方式。
讓 Z=X/(X+Y), 以便
Z−12=XX+Y−X/2+Y/2X+Y=12X−YX+Y=12(X−Y)/√2(X+Y)/√2=12UV
在哪裡(U,V)=(X−Y√2,X+Y√2).
因為 (U,V) 是二元正態變量的線性變換 (X,Y), 它也是二元正態的，並且計算簡單（除了算術定義外，最終只需要以下事實： 1+1=2 ) 顯示的方差 U 和 V 是團結和 U 和 V 是不相關的：也就是說， (U,V) 也有一個標準的正態分佈。特別是， U 和 V 都是對稱分佈的（大約 0 )，暗示 U/V 具有相同的分佈 U/|V|. 但 |V|=√V2 根據定義，具有 χ(1) 分配。自從 U 和 V 是獨立的，所以是 U 和 |V|, 從哪裡來（也根據定義） U/|V|=U/√V2/1 具有一個自由度的學生 t 分佈。
*在沒有積分並且只有最簡單的代數計算之後，*結論是
W=2Z−1=U/V 具有一個自由度的學生 t 分佈。
這只是（標準）柯西分佈的另一個名稱。自從 Z=W/2+1/2 只是一個重新調整和移動的版本 W, , Z 有一個柯西分佈（再次根據定義），QED。
使用的事實摘要
上述分析中使用的每一個事實都令人感興趣且值得了解。
這些是基本定理：
- 二元正態變量的線性變換是二元正態變量。 （這也可以被認為是一個定義。）
- 不相關的二元正態變量是獨立的。
- 協方差是二次形式。 （這也可以是協方差定義的一部分，但這有點不尋常。）
- 當兩個變量獨立時，它們中的每一個（分別）的函數也是獨立的。
這些都是定義：