Distributions
如何證明概率密度函數的均值是否存在
眾所周知，給定一個實值隨機變量帶PDF, 的平均值（如果存在）被找到
一般問題： 現在，如果不能以封閉形式求解上述積分，但想簡單地確定均值是否存在且是有限的，有沒有辦法證明這一點？是否有（也許）一些測試我可以應用於被積函數以確定是否滿足某些標準以使均值存在？
特定於應用程序的問題： 我有以下 pdf，我想確定平均值是否存在：
在哪裡 ,,， 和.
我試圖解決無濟於事。
沒有通用的技術，但有一些簡單的原則。 一是研究尾巴的行為通過將其與易處理的功能進行比較。
根據定義，期望是雙重極限（如和獨立變化）
右邊兩個積分的處理是一樣的，所以我們重點關注正的。一種行為確保限值的方法是將其與功率進行比較. 認為是一個數字
這意味著存在一個和 為此每當. 我們可以通過打破整合到區域中來利用這種不平等和並將其應用於第二個區域：
假如, 右手邊發散為. 什麼時候積分計算為對數，
這也有分歧。
對比分析表明，如果 為了， 然後存在。同樣，我們可以測試是否有任何時刻存在：對於, 的期望存在時對於一些並且不存在時對於一些. 這解決了“一般問題”。
讓我們將這一見解應用於這個問題。 通過檢查可以清楚地看出 對於大. 在評估，因此我們可能會丟棄任何最終會被. 因此，直到一個非零常數，對於
因此接近一個非零常數。根據前面的結果，期望是不同的。
自從是最小值在這個論點中有效——將歸零為對於任何——很清楚（以及更詳細的分析將確認）發散率是對數的。也就是說，對於大和,可以通過以下的線性組合緊密近似和.