Distributions
我知道 ln(x) 的 95% 置信區間，我是否也知道 x 的 95% 置信區間？
假設 95% 的置信區間 $ \ln(x) $ 是 $ [l,u] $ . 95% CI 是真的嗎 $ x $ 簡直就是 $ [e^l, e^u] $ ?
我有直覺答案是肯定的，因為 $ \ln $ 是一個連續函數。是否有一些定理支持/反駁我的直覺？
這是95 % 的置信區間 $ x $ ，但不是95%的置信區間。對於任何連續的嚴格單調變換，您的方法是獲取變換值置信區間的合法方法。（對於單調遞減函數，您可以反轉界限。）tchakravarty的另一個出色答案表明分位數與這些轉換相匹配，這說明瞭如何證明這個結果。
一般來說，您可以製定無限數量的可能的 95% 置信區間 $ x $ ，雖然這是其中之一，但通常不是具有這種置信水平的*最短時間間隔。*在製定置信區間時，通常最好嘗試優化以產生具有所需覆蓋水平的最短可能區間——這可確保您可以在所需置信水平下進行最準確的推斷。您可以在此處的相關問題中找到有關如何執行此操作的說明。
對現有區間進行非線性變換不會為您提供最佳（最短）置信區間（除非巧合！）。用於獲得最短置信區間的一般方法是返回並查看對用於製定區間的關鍵量進行操作的初始概率語句。不是在概率語句中使用“等尾”，而是將相對尾部大小設置為控制變量，然後找到以該變量為條件的置信區間長度的公式。最後，您使用微積分方法來確定最小化區間長度的控制變量的值。通常這種方法可以針對廣泛的問題進行編程，讓您可以快速計算感興趣對象的最佳置信區間。