如果XXX是一個正態分佈的隨機變量，那麼它的分佈是什麼X3X3X^3?它是否遵循眾所周知的分佈？
我正在嘗試估算發電量（ P ) 來自風力渦輪機。風力發電機的瞬時功率隨風速的立方而變化（ v ）， 所以 P=v3 . 如果 v 是正態分佈的，什麼是分佈 P ?
具有任意均值的正態隨機變量立方的一般情況非常複雜，但中心正態分佈（均值為零）的情況非常簡單。在這個答案中，我將展示平均值為零的簡單情況的確切密度，並將向您展示如何為更一般的情況獲得密度的模擬估計。
**具有零均值的正態隨機變量的分佈：**考慮一個居中的正態隨機變量 X∼N(0,σ2) 然後讓 Y=X3 . 那麼對於所有人 y⩾0 我們有：
P(−y⩽Y⩽y)=P(−y⩽X3⩽y)\[6pt]=P(−y1/3⩽X⩽y1/3)\[6pt]=Φ(y1/3/σ)−Φ(−y1/3/σ).\[6pt]
自從 Y 是一個對稱隨機變量，對於所有 y>0 然後我們有：
fY(y)=12⋅ddyP(−y⩽Y⩽y)\[6pt]=12⋅ddy[Φ(y1/3/σ)−Φ(−y1/3/σ)]\[6pt]=12⋅[13⋅ϕ(y1/3/σ)σy2/3+13⋅ϕ(−y1/3/σ)σy2/3]\[6pt]=13⋅ϕ(y1/3/σ)σy2/3\[6pt]=1√2πσ2⋅13y2/3⋅exp(−12σ2⋅y2/3).\[6pt]
自從 Y 是一個對稱隨機變量，那麼我們就有了全密度：
fY(y)=1√2πσ2⋅13|y|2/3⋅exp(−12σ2⋅|y|2/3)for all y∈R.
這是對Berg (1988)中顯示的密度的輕微概括 † (p. 911)，它適用於基礎標準正態分佈。（有趣的是，這篇論文表明這個分佈是“不確定的”，因為它沒有完全由它的矩定義；也就是說，還有其他具有完全相同的矩的分佈。）
**任意正態隨機變量的分佈：**推廣到 X∼N(μ,σ2) 對於任意 μ∈R 相當複雜，因為當展開為立方體時，非零平均值會導致多項式表達式。在後一種情況下，可以通過模擬獲得分佈。下面是一些
R代碼，用於獲取分佈的核密度估計器 (KDE)。#Create function to simulate density SIMULATE_DENSITY <- function(n, mu = 0, sigma = 1) { X <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma); density(X^3); } #General simulation mu <- 3; sigma <- 1; DENSITY <- SIMULATE_DENSITY(10^7, mu, sigma); plot(DENSITY, main = 'Density of cube of normal random variable', xlab = 'Value', ylab = 'Density');
該圖顯示了基礎隨機變量的立方體的模擬密度 X∼N(3,1) . 模擬中的大量值給出了平滑的密度圖，您也可以參考
DENSITY代碼生成的密度對象。
† 這篇論文有一個可怕的名字，它不應該通過期刊審稿人。它的標題是“正態分佈的立方是不確定的”，但該論文涉及標準正態隨機變量的立方，而不是其“分佈”的立方。
