如果XXX是一個正態分佈的隨機變量，那麼它的分佈是什麼X3X3X^3?它是否遵循眾所周知的分佈？

我正在嘗試估算發電量（ $ P $ ) 來自風力渦輪機。風力發電機的瞬時功率隨風速的立方而變化（ $ v $ ）， 所以 $ P = v^3 $ . 如果 $ v $ 是正態分佈的，什麼是分佈 $ P $ ?

具有任意均值的正態隨機變量立方的一般情況非常複雜，但中心正態分佈（均值為零）的情況非常簡單。在這個答案中，我將展示平均值為零的簡單情況的確切密度，並將向您展示如何為更一般的情況獲得密度的模擬估計。

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**具有零均值的正態隨機變量的分佈：**考慮一個居中的正態隨機變量 $ X \sim \text{N}(0,\sigma^2) $ 然後讓 $ Y=X^3 $ . 那麼對於所有人 $ y \geqslant 0 $ 我們有：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(-y \leqslant Y \leqslant y) &= \mathbb{P}(-y \leqslant X^3 \leqslant y) \[6pt] &= \mathbb{P}(-y^{1/3} \leqslant X \leqslant y^{1/3}) \[6pt] &= \Phi(y^{1/3} / \sigma) - \Phi(-y^{1/3} / \sigma). \[6pt] \end{aligned} \end{equation} $$

自從 $ Y $ 是一個對稱隨機變量，對於所有 $ y > 0 $ 然後我們有：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} f_Y(y) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dy} \mathbb{P}(-y \leqslant Y \leqslant y) \[6pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dy} \Big[ \Phi(y^{1/3} / \sigma) - \Phi(-y^{1/3} / \sigma) \Big] \[6pt] &= \frac{1}{2} \cdot \Big[ \frac{1}{3} \cdot \frac{\phi(y^{1/3} / \sigma)}{\sigma y^{2/3}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\phi(-y^{1/3} / \sigma)}{\sigma y^{2/3}} \Big] \[6pt] &= \frac{1}{3} \cdot \frac{\phi(y^{1/3} / \sigma)}{\sigma y^{2/3}} \[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \cdot \frac{1}{3 y^{2/3}} \cdot \exp \Big( -\frac{1}{2 \sigma^2} \cdot y^{2/3} \Big). \[6pt] \end{aligned} \end{equation} $$

自從 $ Y $ 是一個對稱隨機變量，那麼我們就有了全密度：

$$ f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \cdot \frac{1}{3 |y|^{2/3}} \cdot \exp \Big( -\frac{1}{2 \sigma^2} \cdot |y|^{2/3} \Big) \quad \quad \quad \quad \quad \text{for all } y \in \mathbb{R}. $$

這是對Berg (1988)中顯示的密度的輕微概括 $ ^\dagger $ (p. 911)，它適用於基礎標準正態分佈。（有趣的是，這篇論文表明這個分佈是“不確定的”，因為它沒有完全由它的矩定義；也就是說，還有其他具有完全相同的矩的分佈。）

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**任意正態隨機變量的分佈：**推廣到 $ X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2) $ 對於任意 $ \mu \in \mathbb{R} $ 相當複雜，因為當展開為立方體時，非零平均值會導致多項式表達式。在後一種情況下，可以通過模擬獲得分佈。下面是一些R代碼，用於獲取分佈的核密度估計器 (KDE)。

#Create function to simulate density
SIMULATE_DENSITY <- function(n, mu = 0, sigma = 1) {
   X    <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma);
   density(X^3); }

#General simulation
mu      <- 3;
sigma   <- 1;
DENSITY <- SIMULATE_DENSITY(10^7, mu, sigma);
plot(DENSITY, main = 'Density of cube of normal random variable',
    xlab = 'Value', ylab = 'Density');

該圖顯示了基礎隨機變量的立方體的模擬密度 $ X \sim \text{N}(3, 1) $ . 模擬中的大量值給出了平滑的密度圖，您也可以參考DENSITY代碼生成的密度對象。

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$ ^\dagger $ 這篇論文有一個可怕的名字，它不應該通過期刊審稿人。它的標題是“正態分佈的立方是不確定的”，但該論文涉及標準正態隨機變量的立方，而不是其“分佈”的立方。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/412249