二項分佈中樣本均值和样本方差的獨立性

讓. 我們知道和. 這是否意味著樣本意味著和样本方差是否相互依賴？還是僅僅意味著總體方差可以寫成總體均值的函數？

和是隨機變量。我們可以計算出它們的聯合分佈。讓我們嘗試最簡單的非平凡案例，即樣本大小從二項式分配。該樣本只有四種可能性，特此將其與它們的概率一起列出（根據兩個樣本元素的獨立性計算）：

First value | Second value | Mean | Variance | Probability
         0 |            0 |    0 |        0 | (1-p)^2
         0 |            1 |  1/2 |      1/2 | (1-p)p
         1 |            0 |  1/2 |      1/2 | p(1-p)
         1 |            1 |    1 |        0 | p^2

在這個例子中，均值完美地預測了方差。因此，假設所有概率都是非零的（即，既不是也不)，樣本均值和样本方差不獨立。

一個有趣的問題是，如果在一系列分佈中均值決定方差，那麼樣本均值和样本方差是否可以獨立。答案是肯定的：採用方差取決於均值的任何正態分佈族，例如所有正態分佈的集合分佈。無論這些分佈中的哪一個控製樣本，樣本均值和样本方差都是獨立的，因為任何正態分佈都是如此。

該分析表明有關分佈族結構的問題（涉及,,，等等）與來自任何給定家庭元素的樣本統計數據的獨立性問題無關。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/320936