Distributions
截斷分佈的最大似然估計量
考慮獨立樣本從隨機變量中獲得假設遵循已知（有限）最小值和最大值的截斷分佈（例如截斷正態分佈）和但參數未知和. 如果遵循非截斷分佈，最大似然估計和為了和從將是樣本均值和样本方差. 但是，對於截斷分佈，以這種方式定義的樣本方差受所以它並不總是一個一致的估計量：對於，它不能在概率上收斂到作為走向無窮大。所以看起來和不是最大似然估計量和對於截斷分佈。當然，這是可以預料的，因為和截斷正態分佈的參數不是它的均值和方差。
那麼，最大似然估計量是多少和已知最小值和最大值的截斷分佈的參數？
考慮由“標準”分佈確定的任何位置尺度族,
假設可微分，我們很容易發現 PDF 是.
截斷這些分佈以限制它們之間的支持和,, 表示 PDF 被替換為
（並且對於所有其他值為零） 在哪裡是確保融為一體。（注意是相同的在沒有截斷的情況下。）iid 數據的對數似然因此是
找到臨界點（包括任何全局最小值）（我將在這裡忽略一個特殊情況）或梯度消失。使用下標表示導數，我們可以正式計算梯度並將似然方程寫為
因為和已修復，將它們從符號中刪除並寫入作為和作為. （沒有截斷，兩個函數都為零。）將涉及數據的項與其餘項分開給出
通過將這些與不截斷情況進行比較，很明顯
- 原始問題的任何足夠的統計數據都足以解決截斷問題（因為右手邊沒有改變）。
- 我們找到封閉形式解決方案的能力取決於和. 如果這些不涉及和以簡單的方式，我們不能希望獲得一般的封閉形式的解決方案。
對於一個普通家庭來說，當然是由累積正態 PDF 給出的，它是誤差函數的差異：通常不可能獲得封閉形式的解。但是，只有兩個足夠的統計量（樣本均值和方差即可），並且 CDF 盡可能平滑，因此數值解相對容易獲得。