MLE 用於三角形分佈？
是否可以將通常的 MLE 程序應用於三角形分佈？- 我正在嘗試，但通過定義分佈的方式，我似乎在數學中的某個步驟或另一個步驟中被阻止了。我試圖利用我知道 c 以上和以下的樣本數（不知道 c）的事實：如果 n 是樣本總數，這兩個數字是 cn 和 (1-c)n。但是，這似乎對推導沒有幫助。矩給出了 c 的估計量，沒有太大問題。這裡阻礙 MLE 的確切性質是什麼（如果確實存在的話）？
更多細節：
讓我們考慮一下在和定義的分佈經過：
如果 x < c
如果 c <= x
讓我們來一個獨立同居樣本給定這個樣本，從這個分佈形成 c 的對數似然：
然後我試圖使用給定形式的事實， 我們知道樣本將低於（未知）， 和將落在上面. 恕我直言，這允許分解對數似然表達式中的總和，因此：
在這裡，我不確定如何進行。MLE 將涉及衍生 wrt的對數似然，但我有作為總和的上限，這似乎阻止了這一點。我可以嘗試另一種形式的對數似然，使用指標函數：
但是推導指標似乎也並不容易，儘管狄拉克三角洲可以允許繼續（同時仍然有指標，因為我們需要推導產品）。
所以，我在這裡被 MLE 阻止了。任何的想法？
是否可以將通常的 MLE 程序應用於三角形分佈？
當然！儘管有一些奇怪的問題需要處理，但在這種情況下可以計算 MLE。
但是，如果“通常的程序”是指“取對數似然的導數並將其設置為零”，那麼可能不是。
這裡阻礙 MLE 的確切性質是什麼（如果確實存在的話）？
你試過畫出可能性嗎？
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澄清問題後的跟進：
關於繪製可能性的問題不是空洞的評論，而是問題的核心。
MLE 將涉及衍生
不，MLE 涉及找到函數的 argmax。這只涉及在某些條件下找到導數的零點……這裡不成立。充其量，如果您設法做到這一點，您將確定一些局部最小值。
正如我之前的問題所建議的那樣，看看可能性。
這是一個樣本，來自 (0,1) 上的三角形分佈的 10 個觀測值：
0.5067705 0.2345473 0.4121822 0.3780912 0.3085981 0.3867052 0.4177924 0.5009028 0.8420312 0.2588613這是似然函數和對數似然函數關於該數據：
灰線標記數據值（我可能應該生成一個新樣本以更好地分離值）。黑點標記了這些值的可能性/對數可能性。
這是接近最大可能性的放大圖，以查看更多細節：
正如您從可能性中看到的那樣，在許多訂單統計中，似然函數具有尖銳的“拐角” - 導數不存在的點（這不足為奇 - 原始 pdf 有一個拐角，我們正在採取pdf的產品）。這（在訂單統計中存在尖點）是三角分佈的情況，並且最大值總是出現在訂單統計之一處。（在順序統計中出現的尖點並不是三角形分佈所獨有的；例如，拉普拉斯密度有一個角，因此其中心的可能性在每個順序統計中都有一個。）
正如我的樣本中發生的那樣，最大值出現在四階統計量 0.3780912
所以要找到 MLE在 (0,1) 上，只需找到每個觀測值的可能性。最有可能的是 MLE.
Johan van Dorp 和 Samuel Kotz的“ Beyond Beta ”的第 1 章是一個有用的參考。碰巧的是，第 1 章是本書的免費“示例”章節 - 您可以在此處下載。
Eddie Oliver 有一篇關於三角形分佈問題的可愛小論文，我認為是在 American Statistician 中（它的觀點基本相同；我認為是在教師角）。如果我能找到它，我會把它作為參考。
編輯：這裡是：
EH Oliver (1972)，A Maximum Likelihood Oddity，
美國統計學家，第 26 卷，第 3 期，六月，p43-44
（發布者鏈接）
如果您可以輕鬆掌握它，那麼值得一看，但 Dorp 和 Kotz 章節涵蓋了大部分相關問題，因此並不重要。
通過對評論中的問題進行跟進-即使您可以找到某種“平滑”角落的方法，您仍然必須處理可以獲得多個局部最大值的事實：
但是，可能會找到具有非常好的屬性（比矩量法更好）的估計量，您可以輕鬆地寫下來。但是（0,1）上的三角形上的ML是幾行代碼。
如果這是一個海量數據的問題，那也可以處理，但我認為這將是另一個問題。例如，並非每個數據點都可以是最大值，這會減少工作量，並且可以節省一些其他費用。
