兩個獨立的均勻隨機變量的乘積的pdf
讓~和~是具有給定分佈的兩個獨立隨機變量。什麼是分佈?
我試過卷積，知道
我們也知道,
有些東西告訴我，這裡有些奇怪，因為它在 0 處不連續。請幫忙。
已經發布了一個精美，嚴謹，優雅的答案。這樣做的目的是以一種可能更能揭示潛在結構的方式得出相同的結果. 它說明了為什麼概率密度函數 (pdf) 在.
通過關注組件分佈的形式可以完成很多工作：
- 是兩倍隨機變量。 是所有均勻分佈的標準、“好”形式特徵。
- 是十倍隨機變量。
- 的標誌服從 Rademacher 分佈：它等於或者, 每個都有概率.
（最後一步將非負變量轉換為對稱分佈，它們的兩條尾巴看起來都像原始分佈。）
所以(a) 關於對稱(b) 其絕對值為乘以兩個獨立的乘積隨機變量。
產品通常通過取對數來簡化。 事實上，眾所周知，a 的負對數變量具有指數分佈（因為這是生成隨機指數變量的最簡單方法），因此其中兩個乘積的負對數具有兩個指數之和的分佈。指數是一個分配。具有相同比例參數的 Gamma 分佈很容易添加：您只需添加它們的形狀參數。一個多於變量因此具有分配。最後
隨機變量是的對稱版本乘以 a 的負數的指數多變的。
PDF的構建從一個分佈從左到右顯示，從均勻，到指數，再到, 到它的負數的指數, 到同樣的東西，最後是對稱版本。它的 PDF 在，確認那裡的不連續性。
我們可能會滿足於在這裡停下來。 例如，這種表徵為我們提供了一種生成實現的方法直接，如在此
R表達式中：n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)這個分析還揭示了為什麼 pdf 在. 當我們考慮 a (的負數) 的指數時，該奇點首次出現分佈，對應於乘一因另一個而異。（比如說）內的值的以多種方式出現，包括（但不限於）當（a）其中一個因素小於或 (b) 兩個因子均小於. 這個平方根遠大於本身當接近. 這迫使很多概率，數量大於, 被擠入一段長度的區間. 為了使這成為可能，產品的密度必須變得任意大. 隨後的操作——重新調整一個因子和對稱——顯然不會消除那個奇點。
答案的這種描述性特徵也直接導致公式最小化，表明它是完整和嚴格的。 例如，要獲得的 pdf, 從 a 的概率元素開始分配，
讓暗示和. 這種轉換也顛倒了順序：較大的值導致較小的值. 出於這個原因，我們必須對替換後的結果取反，給出
比例因子將此轉換為
最後，對稱化替換經過, 允許它的值現在從到, 並將 pdf 除以將總概率平均分佈在區間上和:
