參考：誰引入波浪號“~”表示“有概率分佈……”？
[注：雖然這個問題有一個公認的答案，但調查還沒有結束。我鼓勵你發表你的發現。]
誰首先引入了符號“ $ X \sim Q $ “， 意思是 $ Q $ 是概率分佈 $ X $ ，及其相關含義？
Jeffreys 的*《概率論》（1961 年第 3 版，1948年第 2 版）和 Fisher 的《研究工作者統計方法》（1963 年第 13 版）和《統計方法與科學推理》（1956 年）等經典著作似乎沒有使用它（在杰弗里斯“ $ \sim $ " 表示邏輯非*）。
我還檢查了這個內容豐富的答案中給出的參考資料，但沒有找到任何相關的內容。
（這種表示法在近代或今天絕不是普遍的，參見例如 Mosteller & Tukey 的Data Analysis and Regression (1977) 或 Jaynes 的Probability Theory (2003)。事實上，當概率被視為形式邏輯（例如Keynes , Johnson , Jeffreys, Pólya , Hailperin , Jaynes ），根據命題而不是隨機變量來定義。）
編輯 (2021-06-24)：到目前為止，我發現的最早參考文獻是Khatri 於 1965 年撰寫並於 1967 年出版的論文，其中符號在第 10 頁引入。1854. 迄今為止發現的最早的教科書參考資料是Srivastava & Khatri, 1979 , p. 41.
John Aldrich也很友好地回復了我的詢問，說他從未調查過這種符號的來源。
早期用途
自 1961 年以來，英格拉姆·奧爾金和其他人有一些較早的用途。
- 奧爾金、英格拉姆和羅伯特 F. 泰特。“具有混合離散和連續變量的多元相關模型。” 數理統計年鑑（1961）：448-465。
$ X \sim F(x) $ 意思是 $ x $ 根據df分佈 $ F(x) $ ， 和 $ x(n) \to F(x) $ 意味著漸近 df 的 $ x(n) $ 是 $ F(x) $ .
- 奧爾金、英格拉姆和赫爾曼·魯賓。“ Wishart 分佈的表徵。 ”數理統計年鑑(1962)：1272-1280。
我們寫 $ X \sim \mathcal{W}(\Lambda,p,n), (n > p-1, \Lambda: p \times p, \Lambda > 0 ) $ , 意思是 $ X $ 是一個 $ p \times p $ 具有密度函數的對稱矩陣$$ p(X) = c \vert \Lambda \vert ^{n/2} \vert X \vert^{(n-p-1)/2} e^{-(\frac{1}{2}) \text{tr} \Lambda X} $$
進一步挖掘，您會在 1963 年 Raghunandan Prasad Bhargava（Olkin 的學生）的論文“不完整數據的假設的多變量檢驗”中看到符號
我們使用符號 $ Y \sim p(z) $ 表示概率密度 $ Z $ 是 $ p(z) $ ， 和 $ Y \underset{H}{\sim} p(z) $ 來表示概率密度 $ Z $ 在假設下 $ H $ 是 $ p(z) $ .
Srivastava 也是斯坦福大學的校友（並在1965 年的一篇論文中使用了該符號）。
1961年之前
- *在此之前，Olkin 使用“讓……獨立且每個分佈為……”*形式的更詳細的描述。所以看起來他要么是在 1961 年左右開始的，要么是從其他人那裡學來的。
- 對於魯賓來說，既沒有更早使用 $ \sim $ 這樣。在一篇論文中，他似乎用它來表示漸近相等。（類似於Bachmann-Landau 符號）
魯賓，赫爾曼。“多元密度不連續性的估計，以及隨機過程中的相關問題。” 第四屆伯克利數理統計和概率研討會論文集，第 1 卷：對統計理論的貢獻。加州大學出版社，1961 年。
- 符號的其他用途 $ \sim $ 由 Kolmogorov 在
Колмогоров, Андрей Николаевич。“Об аналитических методах в теории вероятностей。” Успехи математических наук 5 (1938): 5-41。
我不懂俄語，但根據谷歌翻譯，我猜方程 67$$ P^p_k \sim \frac{A^kp^k}{k!}e^{-Ap} $$應該意味著大約分佈為
- 類似的用途是
Колмогоров, Андрей Николаевич。“Обобщение формулы Пуассона на случай выборки из конечной совокупности。” Успехи математических наук 6.3 (43 (1951): 133-134。
其中我們有一個方程$$ P_n(m \vert N,M) \sim P_n^\star(m\vert N , M) $$和 $ P^\star $ 是一個更簡單的表達式，應該近似於 $ P $ （在這種情況下，超幾何分佈是近似的）
- Kolmogorov 的另一個用途是
Колмогоров, Андрей Николаевич。“Обоперациях над множествами。” Математический сборник 35.3-4 (1928): 415-422。
其中出現以下等式$$ \overline{\overline{X}} \sim X $$再說一次，我不懂俄語，必須破譯它。對我來說，這似乎意味著表示的操作 $ \overline{\overline{X}} $ 將給出與表示的操作相同的結果 $ X $ . （這不再是關於概率）。
- Paul Lévy 也將波浪符號用作“近似”或“漸近公式”。例如在
列維，保羅。“Sur le developpement en fraction continue d’un nombre choisi au hasard。” 數學組合3（1936 年）：286-303。
存在的概率 $ p $ valeurs supérieures à $ n $ 丹斯拉套房 $ y_1, y_2, …, y_n $ est d’autre 部分$$ C_{n}^p \left( \frac{1}{n}\right)^p\left( 1-\frac{1}{n}\right)^{n-p} \sim \frac{1}{ep!} \quad (n \to \infty) $$
但是，這里二元關係的兩邊都是數學表達式。它不是左側的“統計變量”。
- 利維使用 $ \sim $ 在隨機表達式中
列維，保羅。“維納隨機函數，以及其他拉普拉斯隨機函數。” 第二屆伯克利數理統計和概率研討會論文集。加州大學出版社，1951 年。
現在它是無限小的步長情況下的漸近關係。例如，Lévy 的基本隨機無窮小方程（方程 2.1.1）寫為$$ \delta X(t) \sim dt \int_{t_0}^t F(t,u) dX(u) + \zeta \sigma(t) \sqrt{dt} $$符號解釋為
符號 $ \sim $ 意味著，如 $ dt \to 0 $ , 兩邊差的兩個第一個矩是 $ o(dt) $ 或者 $ o\left[d\omega(t) \right] $ [如果 $ \sigma^2(t)dt $ 被替換為 $ d\omega(t) $ ]。
（在杰弗里斯“ $ ∼ $ " 表示邏輯非）
否定的波浪符號至少可以追溯到 Giuseppe Peano 在 1987 年使用。請參閱 Jeff Miller 的網頁：https ://jeff560.tripod.com/set.html