原假設下 p 值的分佈是均勻的 (0, 1)
我看過這個，這個和一些 YouTube 視頻，但我仍然卡住了。
我了解概率積分變換如何導致 p 值的 CDF 具有均勻分佈的結果。
我不明白為什麼這意味著 p 值本身俱有均勻分佈。
也就是說，我明白了這麼多：
假設 X ~ Unif(a, b)。那麼 X 的 CDF 為：
$$ P(X \le x) = \begin{cases} 0\ \ {\rm{if}}\ \ x \le a \ (x-a)/(b-a)\ \ {\rm{if}} \ \ a \le x < b \ 1\ \ {\rm{if}}\ x \ge b \end{cases} $$
所以如果 X ~ Unif(0, 1)，那麼$$ P(X \le x) = x $$（只需替換 a=0 和 b=1）。
現在假設$$ Y = F(X) $$，我們想知道 Y 的概率分佈。也就是說，我們想知道 X 的 CDF 的概率分佈。
我們知道分佈的 CDF 是分佈的唯一標識符，所以如果你看到，例如， $ P(X \le x) = x $ 那麼你知道 X ~ Unif(0, 1)。
我們還知道 CDF 是右連續的，它們從 0 到 1。因此選擇一個介於 0 和 1 之間的值 f 並嘗試找出 CDF Y 取值較小的概率是合理的大於或等於 f：
$$ \begin{align*} P(Y \le f) &= P(F(X) \le f) \ &= P(X \le F^{-1}(f)) \ {\rm{assuming\ F\ is\ invertible}} \ &= F(F^{-1}(f)) \ &= f \end{align*} $$
所以自從 $ P(Y \le f) = f, Y = F(X) $ 必須服從均勻分佈。
這意味著對於任何連續隨機變量（滿足我不確定的某些屬性），該連續隨機變量的 CDF 將具有 Unif(0, 1) 分佈。
這並不意味著隨機變量本身俱有 Unif(0, 1) 分佈。也就是說，這並不意味著 X 有一個 Unif(0, 1) 分佈，只是說 F(X) 有一個 Unif(0, 1) 分佈。
因此，如果測試統計量具有連續分佈，則該測試統計量的 CDF 具有 Unif(0, 1) 分佈。為什麼這意味著 p 值具有均勻分佈？
等等……p 值是檢驗統計量的 CDF 嗎？
顯然，我在這裡打結了自己。任何幫助，將不勝感激。
編輯（回應評論）：
這是我睡覺以來的想法。
如果我們有 $ P(X \le x) = x $ , 然後 X ~ Unif(0,1)。
自從 $ P(F(X) \le f) = f $ , 這意味著 $ F(X) $ 〜統一（0,1），對吧？
但是，如果原假設為真，為什麼這會導致我們認為 p 值是均勻分佈的呢？
假設我們有：
$$ H_0: \mu \ge 0 $$ $$ H_a: \mu < 0 $$,
和 $ \sigma $ 是已知的。讓 $ ts $ 是檢驗統計量，它具有非標準正態分佈。標準化後，讓與檢驗統計量相關的 z-score 為 $ z_{ts} $ .
然後我們會拒絕 $ H_0 $ 如果 $ P(Z < z_{ts}) < 0.05 $ . 也就是說，我們會拒絕 $ H_0 $ 如果 p 值小於 0.05。
表格 $ P(Z < z_{ts}) $ 和 CDF 是同一種形式，對吧？如果檢驗統計量是連續的，那麼這與 $ P(Z \le z_{ts}) $ .
現在讓 $ F(Z) = P(Z \le z_{ts}) $ .
這真的是 CDF 嗎？如果是這樣，那又是什麼？
當我們有其他替代假設（比如 $ H_a: \mu > 0 $ 或者 $ H_a: \mu \ne 0 $ )?
在假設檢驗中，我們計算檢驗統計量並詢問“將某事視為或比該觀察更極端的概率是多少”。
考慮一個測試，其中替代假設是“更大”的東西。在更大的替代背景下，這變成了看到觀察到的測試統計數據或任何比它更大的東西的概率。
換句話說，p_value 是檢驗統計量在 null 下的生存函數。所以，如果我們的檢驗統計量是 $ x $ 並且零假設涉及它根據 $ X_0 $ ， p_value 變為（對於替代為“更大”的測試並假設 $ S_{X_0} $ 是生存函數 $ X_0 $ ):
$$ q=P(\text{Observation as or more extreme than x under null in direction of alternate}) $$
$$ =P(X_0>x)=S_{X_0}(x) $$
但如果原假設為真，則檢驗統計量， $ x $ 本身是從零分佈中得出的。我們說在空值下檢驗統計量的分佈是 $ X_0 $ . 然後 p_value 的分佈由隨機變量給出 $ Q $ 這樣：
$$ Q=S_{X_0}(X_0) $$
但是我們知道，如果我們將隨機變量的生存函數（或 CDF）應用於自身，我們會得到 U(0,1) 分佈。這是逆變換採樣技術和 QQ 圖的基礎。
這是一個證明：
$$ P(Q<q)=P(S_{X_0}(X_0)<q)=P(X_0>S_{X_0}^{-1}(q))=S_{X_0}(S_{X_0}^{-1}(q))=q $$
我們在第三個表達式中使用了生存函數單調遞減的事實。
但如果 $ P(Q<q)=q $ 然後 $ Q $ 必須是 $ U(0,1) $ .