哪些分佈具有未定義的均值但不對稱？
哪些分佈具有未定義的均值但不對稱？
我正在尋找一個概率分佈函數（和 CDF），其均值未定義，但不像 Cauchy 那樣對稱，而是具有無限均值且最大密度遠離零的正的連續概率分佈 - 形狀像 Poisson一個“駝峰”。
我認為正無窮大的肥尾應該適用於未定義的均值，但是這樣的分佈是什麼？
我猜您正在尋找具有無限均值且最大密度遠離零的正的連續概率分佈。
我認為通過與伽瑪分佈類比（ $ p(x) \propto x^a \exp(-x) , dx $ )，我們可以嘗試一些有理數（多項式）而不是指數尾的東西。經過一點點懶惰的 R 和 Python (sympy) 實驗，我想出了
$$ p(x) = \frac{1}{2\sqrt{3}\cdot \pi/9} \cdot \frac{x}{1+x^3} , dx $$
（我最初嘗試過 $ p(x) \propto x/(1+x^2) $ ，但其積分發散。） $ \int_0^\infty p(x) , dx $ 是 1，根據需要，並且 $ \int_0^\infty x p(x) , dx $ 分歧。
我不知道這個發行版是否有與之相關的名稱/文獻。
CDF 以封閉形式提供，但非常可怕……（參見下面的 Python 代碼……）
$$ 3 \sqrt{3} \left(- \frac{\log{\left(X + 1 \right)}}{6 \pi} + \frac{\log{\left(X^{2} - X + 1 \right)}}{12 \pi} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} X}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{6 \pi}\right) + \frac{1}{4} $$
沒有實際嘗試任何東西，我猜想這種形式的分佈 $ x^a/(1+x^{a+2}) $ 通常會具有這些屬性（但計算會越來越糟糕）。具有更多分析技能的人可能會證明很多事情。
一位知識淵博的同事認為這與“Beta-Type 2 (m=2/3,n=1/3)”分佈幾乎相同（Beta-Type 2 分佈具有以下形式的術語 $ (1+x)^n $ 在分母而不是 $ 1+x^n $ 上面給出）。您可能想使用 Beta-Type 2 而不是我的版本；因為你知道它叫什麼，你可以搜索有用的代碼，或者關於它的屬性的文獻（例如這里或這里或 McDonald et al 2013），或者在論文中引用它：“Beta-Type 2”聽起來比“a CrossValidated 上的某個人編造的分佈”。
… Beta-Type 2 系列，其密度為
$$ f(x) = \frac{1}{\textrm{Beta}(m,n)} \frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n}} $$
超過支持 $ (0,\infty) $
很明顯，如果 $ m $ 選擇為 > 1，則模式將遠離 0。此外，如果 $ n $ 被選為 $ \leq 1 $ ，那麼均值將是無限的。這個家庭將生產 [an] 無數具有您正在尋找的財產的模型。…如果你設置 $ Y=X^3 $ 在你的模型中，它變成了一個 Beta-Type 2 $ (m=2/3,n=1/3) $ 你可以看到這符合我上面給出的描述。
他們還確定了@ThomasLumley 貢獻的名稱：
…它被稱為功率伽馬模型或指數伽馬模型。
McDonald、James B.、Jeff Sorensen 和 Patrick A. Turley。“收入分配模型的偏度和峰度特性。” 收入和財富審查 59，第 59 期。2 (2013): 360–74。https://doi.org/10.1111/j.1475-4991.2011.00478.x。
代碼：
f <- function(x) 1/(2*sqrt(3)*pi/9)*x/(1+x^3) integrate(f, 0, Inf) ## 1 with absolute error < 4e-07 curve(f, from=0, to=10)Python代碼（因為懶得集成）：
from sympy import * x, n, N = symbols('x,n,N') n=integrate(x/(1+x**3), (x, 0, oo)) ## 2*sqrt(3)*pi/9 integrate(x**2/(1+x**3), (x, 0, oo)) ## infinite mean cdf = integrate(1/n*x/(1+x**3), (x, 0, X)) print(latex(cdf))
