分佈是怎樣的(𝑎-𝑑)2+4𝑏𝑐(一個−d)2+4bC(a-d)^2+4bc， 在哪裡𝑎，𝑏，𝑐，𝑑一個,b,C,da,b,c,d是均勻分佈嗎？

我有四個獨立的均勻分佈變量, 每個在 . 我想計算分佈. 我計算了分佈成為

（因此)，以及成為現在，總和的分配是 （也是獨立的）因為. 這裡，必須所以積分等於現在我將它插入 Mathematica 並得到它 我做了四個獨立的集合包含由…組成每個數字並繪製一個直方圖:

並畫了一個圖:

一般來說，繪圖類似於直方圖，但在區間上大部分是負數（根在 2.27034）。正部分的積分是.

哪裡錯了？或者我在哪裡錯過了什麼？

**編輯：**我縮放直方圖以顯示 PDF。

**編輯2：**我想我知道我的推理問題出在哪裡 - 在集成限制中。因為和, 我不能簡單地. 該圖顯示了我必須整合的區域：

這意味著我有為了（這就是為什麼我的一部分是正確的），在， 和在. 不幸的是，Mathematica 無法計算後兩個積分（嗯，它確實計算了第二個，因為輸出中有一個虛數單位會破壞一切……）。

編輯 3： Mathematica 似乎可以使用以下代碼計算最後三個積分：

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

這給出了正確的答案:)

通常它有助於使用累積分佈函數。

第一的，

下一個，

讓最小之間的範圍（) 和最大的 () 的可能值. 寫作帶 CDF和帶PDF，我們需要計算

我們可以預期這很糟糕——均勻分佈 PDF 是不連續的，因此應該在定義中產生中斷*——所以Mathematica*獲得了一個封閉的形式有點令人驚訝（我不會在這裡重現）。區分它相對於給出所需的密度。它在三個區間內分段定義。在,

在,

而在,

該圖覆蓋了在直方圖上獨立同分佈的實現. 兩者幾乎無法區分，表明公式的正確性.

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以下是幾乎無意識的蠻力Mathematica解決方案。它幾乎可以自動化計算的所有內容。例如，它甚至會計算結果變量的範圍：

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

這裡是所有的整合和差異化。（耐心點；計算需要幾分鐘。）

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
         Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

最後，模擬和對比圖:

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/144138