什麼時候Xn→dXXn→dXX_nstackrel{d}{rightarrow}X和和n→d和和n→d和Y_nstackrel{d}{rightarrow}Y意味著Xn+和n→dX+YXn+和n→dX+和X_n+Y_nstackrel{d}{rightarrow}X+Y?
問題：
$ X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X $ 和 $ Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y $
我知道這並不普遍。斯盧茨基定理僅適用於其中一個或兩個收斂是概率的。
但是，是否存在確實成立的情況？
例如，如果序列 $ X_n $ 和 $ Y_n $ 是獨立的。
形式化@Ben的答案，獨立性幾乎是一個充分條件，因為我們知道兩個獨立RV之和的特徵函數是它們的邊際特徵函數的乘積。讓$$ Z_n = X_n + Y_n $$. 根據獨立 $ X_n $ 和 $ Y_n $ ,
$$ \phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t) $$
所以
$$ \lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] $$
我們有（因為我們假設 $ X_n $ 和 $ Y_n $ 收斂）
$$ \lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t) $$
這是特徵函數 $ X+Y $ …如果 $ X+Y $ 是獨立的。如果兩者中的一個具有連續分佈函數，它們將是獨立的（見這篇文章）。這是除了序列獨立性之外所需的條件，因此獨立性被保留在極限。
沒有獨立，我們會有
$$ \phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t) $$
並且不能對極限作出一般性斷言。