Distributions
什麼時候Xn→dXXn→dXX_nstackrel{d}{rightarrow}X和和n→d和和n→d和Y_nstackrel{d}{rightarrow}Y意味著Xn+和n→dX+YXn+和n→dX+和X_n+Y_nstackrel{d}{rightarrow}X+Y?
問題：
Xnd→X 和 Ynd→Y?⟹Xn+Ynd→X+Y
我知道這並不普遍。斯盧茨基定理僅適用於其中一個或兩個收斂是概率的。
但是，是否存在確實成立的情況？
例如，如果序列 Xn 和 Yn 是獨立的。
形式化@Ben的答案，獨立性幾乎是一個充分條件，因為我們知道兩個獨立RV之和的特徵函數是它們的邊際特徵函數的乘積。讓Zn=Xn+Yn
. 根據獨立 Xn 和 Yn ,ϕZn(t)=ϕXn(t)ϕYn(t)
所以
limϕZn(t)=lim[ϕXn(t)ϕYn(t)]
我們有（因為我們假設 Xn 和 Yn 收斂）
lim[ϕXn(t)ϕYn(t)]=limϕXn(t)⋅limϕYn(t)=ϕX(t)⋅ϕY(t)
這是特徵函數 X+Y …如果 X+Y 是獨立的。如果兩者中的一個具有連續分佈函數，它們將是獨立的（見這篇文章）。這是除了序列獨立性之外所需的條件，因此獨立性被保留在極限。
沒有獨立，我們會有
ϕZn(t)≠ϕXn(t)ϕYn(t)
並且不能對極限作出一般性斷言。