為什麼方差的抽樣分佈是卡方分佈？

該聲明

樣本方差的抽樣分佈是自由度等於的卡方分佈， 在哪裡是樣本大小（假設感興趣的隨機變量是正態分佈的）。

來源

我的直覺

這對我來說有點直觀 1）因為卡方檢驗看起來像平方和 2）因為卡方分佈只是平方正態分佈的和。但是，我仍然對它沒有很好的理解。

問題

陳述是真的嗎？為什麼？

[我會從你問題的討論中假設你很樂意接受這樣一個事實，如果 Zi,i=1,2,…,k 是獨立同分佈的 N(0,1) 然後是隨機變量 ∑ki=1Z2i∼χ2k .]

形式上，您需要的結果來自Cochran 定理。（雖然可以用其他方式展示）

不太正式，考慮一下如果我們知道總體均值，並估計它的方差（而不是樣本均值）： s20=1n∑ni=1(Xi−μ)2 ， 然後 s20/σ2=1n∑ni=1(Xi−μσ)2=1n∑ni=1Z2i , ( Zi=(Xi−μ)/σ ) 這將是 1n 次 χ2n 隨機變量。

使用樣本均值而不是總體均值 ( $ Z_i^=(X_i-\bar{X})/\sigma )使偏差的平方和更小，但以這樣一種方式 \sum_{i=1}^{n}(Z_i^)^2,\sim\chi^2_{n-1} （關於這一點，請參閱Cochran定理）。也就是說，而不是 ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n 我們現在有 (n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1} $ .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/121662