為什麼方差的抽樣分佈是卡方分佈？

該聲明

樣本方差的抽樣分佈是自由度等於的卡方分佈， 在哪裡是樣本大小（假設感興趣的隨機變量是正態分佈的）。

來源

我的直覺

這對我來說有點直觀 1）因為卡方檢驗看起來像平方和 2）因為卡方分佈只是平方正態分佈的和。但是，我仍然對它沒有很好的理解。

問題

陳述是真的嗎？為什麼？

[我會從你問題的討論中假設你很樂意接受這樣一個事實，如果 $ Z_i, i=1,2,\ldots,k $ 是獨立同分佈的 $ N(0,1) $ 然後是隨機變量 $ \sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k $ .]

形式上，您需要的結果來自Cochran 定理。（雖然可以用其他方式展示）

不太正式，考慮一下如果我們知道總體均值，並估計它的方差（而不是樣本均值）： $ s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2 $ ， 然後 $ s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2 $ , ( $ Z_i=(X_i-\mu)/\sigma $ ) 這將是 $ \frac{1}{n} $ 次 $ \chi^2_n $ 隨機變量。

使用樣本均值而不是總體均值 ( $ Z_i^=(X_i-\bar{X})/\sigma $ ) 使偏差的平方和更小，但以這樣一種方式 $ \sum_{i=1}^{n}(Z_i^)^2,\sim\chi^2_{n-1} $ （關於這一點，請參閱 Cochran 定理）。也就是說，而不是 $ ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n $ 我們現在有 $ (n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1} $ .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/121662