對數正態分佈矩估計量的偏差

我正在做一些數值實驗，包括對對數正態分佈進行採樣，並試圖估計矩通過兩種方法：

1. 看樣本均值
2. 估計和通過使用樣本手段，然後使用對數正態分佈的事實，我們有.

問題是：

我通過實驗發現，當我保持樣本數量固定並增加時，第二種方法的性能比第一種方法好得多由某個因素 T。對這個事實有一些簡單的解釋嗎？

我附上了一個圖，其中 x 軸是 T，而 y 軸是比較真實值（橙色線），到估計值。方法 1 - 藍點，方法 2 - 綠點。y 軸採用對數刻度

編輯：

下面是生成一個 T 的結果的最小 Mathematica 代碼，其輸出為：

  ClearAll[n,numIterations,sigma,mu,totalTime,data,rmomentFromMuSigma,rmomentSample,rmomentSample]
(* Define variables *)
n=2; numIterations = 10^4; sigma = 0.5; mu=0.1; totalTime = 200;
(* Create log normal data*)
data=RandomVariate[LogNormalDistribution[mu*totalTime,sigma*Sqrt[totalTime]],numIterations];

(* the moment by theory:*)
rmomentTheory = Exp[(n*mu+(n*sigma)^2/2)*totalTime];

(*Calculate directly: *)
rmomentSample = Mean[data^n];

(*Calculate through estimated mu and sigma *)
muNumerical = Mean[Log[data]]; (*numerical \[Mu] (gaussian mean) *)
sigmaSqrNumerical = Mean[Log[data]^2]-(muNumerical)^2; (* numerical gaussian variance *)
rmomentFromMuSigma = Exp[ muNumerical*n + (n ^2sigmaSqrNumerical)/2];

(*output*)
Log@{rmomentTheory, rmomentSample,rmomentFromMuSigma}

輸出：

(*Log of {analytic, sample mean of r^2, using mu and sigma} *)
{140., 91.8953, 137.519}

上面，第二個結果是樣本均值，低於其他兩個結果

這些結果有些令人費解，因為

1. 第一種方法提供了一個無偏估計，即擁有作為它的意思。因此藍點應該在預期值附近（橙色曲線）；
2. 第二種方法提供了一個有偏估計，即什麼時候和是無偏估計和分別，因此奇怪的是綠點與橙色曲線對齊。

但它們是由於問題而不是數值計算引起的：我在 R 中重複了實驗，並得到了以下具有相同顏色代碼和相同序列的圖片’沙’s，表示每個估計量除以真實期望：

這是相應的R代碼：

moy1=moy2=rep(0,200)
mus=0.14*(1:200)
sigs=sqrt(0.13*(1:200))
tru=exp(2*mus+2*sigs^2)
for (t in 1:200){
x=rnorm(1e5)
moy1[t]=mean(exp(2*sigs[t]*x+2*mus[t]))
moy2[t]=exp(2*mean(sigs[t]*x+mus[t])+2*var(sigs[t]*x+mus[t]))}

plot(moy1/tru,col="blue",ylab="relative mean",xlab="T",cex=.4,pch=19)
abline(h=1,col="orange")
lines((moy2/tru),col="green",cex=.4,pch=19)

因此，確實存在第二個經驗時刻的崩潰，因為和我將其歸因於所述第二經驗矩的方差的巨大增加和增加。

我對這個奇怪現象的解釋是，雖然顯然是 ，它不是一個中心值：實際上是等於. 表示隨機變量時作為在哪裡，很明顯，當足夠大，隨機變量幾乎從來沒有. 換句話說，如果 是

可以任意小。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/214733