Estimation
插值的統計依據是什麼？
假設我們有兩個點（下圖：黑色圓圈），我們想為它們之間的第三個點（十字）找到一個值。事實上，我們將根據我們的實驗結果，即黑點來估計它。最簡單的情況是畫一條線，然後求值（即線性插值）。如果我們有支持點，例如，作為兩邊的棕色點，我們更願意從它們中受益並擬合非線性曲線（綠色曲線）。
問題是，將紅十字標記為解決方案的統計推理是什麼？為什麼其他十字架（例如黃色的十字架）不是它們可能的答案？什麼樣的推論或（？）促使我們接受紅色的？
我將根據這個非常簡單的問題得到的答案來開發我的原始問題。
任何形式的函數擬合，即使是非參數擬合（通常對所涉及的曲線的平滑度做出假設），都涉及假設，因此是一種信念的飛躍。
線性插值的古老解決方案是當您擁有的數據“足夠”細粒度時“才有效”（如果您看一個足夠近的圓，它看起來也很平坦 - 問問哥倫布），甚至是可行的在計算機時代之前（許多現代樣條解決方案並非如此）。假設函數將在兩點之間“在相同（即線性）物質中繼續存在”這一信念是有道理的，但對此沒有先驗原因（除非了解手頭的概念）。
當您有三個（或更多）非共線點（例如添加上面的棕色點時）時，很快就會清楚，每個點之間的線性插值很快就會涉及每個點中的尖角，這通常是不需要的。這就是其他選項跳入的地方。
但是，如果沒有進一步的領域知識，就無法肯定地說明一種解決方案比另一種更好（為此，您必須知道其他點的值是什麼，從而違背了將函數擬合到第一名）。
從好的方面來說，也許與您的問題更相關，在“規律性條件”下（閱讀：假設：如果我們知道該函數是平滑的），線性插值和其他流行的解決方案都可以被證明是“合理的”近似值。仍然：它需要假設，對於這些，我們通常沒有統計數據。